Zawartość

• etapy
• Część 1 Przejrzyj podstawy rachunku nieskończenie małego
• Część 2 Zrozumienie instrumentów pochodnych
• Część 3 Zrozumienie całek

W tym artykule: Ponowna analiza podstaw obliczeń nieskończenie małych Korzystanie z pochodnych Zrozumienie całek Odniesienia

Rachunek nieskończenie mały to gałąź matematyki, która zajmuje się funkcjami, ich granicami, pochodnymi, całkami, szeregami i nieskończonymi sekwencjami. Jest to istotna część matematyki, ponieważ interesuje ją wiele sektorów, takich jak fizyka czy mechanika. Poziom wymagany do wykonania tego artykułu to przynajmniej poziom Terminale, a dokładniej uniwersytetu. Jednak w tym artykule postaramy się położyć fundamenty rachunku nieskończenie małego.

etapy

Część 1 Przejrzyj podstawy rachunku nieskończenie małego

1. 
   

   
   Rachunek nieskończenie mały to badanie wariacji. Jest to obszar, który pozwala badać, za pomocą liczb, krzywych i równań, wiele zjawisk życia codziennego. Oczywiście tego rodzaju obliczenia mogą wydawać się bardzo abstrakcyjne, ale w rzeczywistości można na przykład szczegółowo zbadać postępy twojej firmy lub wiedzieć, jakie jest zużycie statku kosmicznego na tej lub innej wysokości. Rachunek nieskończenie mały jest często używany w następujących dziedzinach: inżynieria, ekonomia, statystyka, chemia, fizyka ... Liczba ważnych odkryć była dozwolona w tym konkretnym obliczeniu.

2. 
   

   
   Funkcja ustanawia związek między dwiema wartościami. Najczęściej staramy się rozwiązywać problemy, znajdować funkcje opisujące otaczający nas świat. Ponieważ funkcje odnoszą się do wartości, możliwe jest tworzenie wykresów (krzywych). W funkcji każdy poprzednik ma obraz. Przyjmij funkcję: y = 2x +4. Każda nowa wartość „x” (poprzednik) daje nową wartość „y” (obraz). Zatem jeśli x = 2, to y = 8, a jeśli x = 10, to y = 24. Rachunek nieskończenie mały dotyczy w szczególności zmian zjawisk.
   • Na przykład funkcja jest zapisana w następującej formie: f (x) = x + 3. Oczywiście, za każdym razem, gdy zamieniasz x na wartość, musisz dodać 3, aby mieć f (x), zwane także „ y ». W ten sposób f (2) = 2 + 3 = 5.
   • Funkcje mogą uwzględniać złożone ruchy. Europejska Agencja Kosmiczna (ESA) wprowadziła do swoich komputerów tysiące funkcji, które pozwalają na przykład obliczyć prędkość lub trajektorię statku kosmicznego według wysokości, zużycia paliwa, prędkości wiatru, masy ze statku kosmicznego ...

3. 
   

   
   
   
   Konieczne jest zrozumienie, co jest definiowane. Jest to koncepcja trochę trudna do zdefiniowania, która może na przykład opisać zjawisko, które powtarza się bez końca lub bez ograniczeń: czy ktoś nigdy nie doszedł do końca? Możemy podejść do pojęcia nieskończoności, pytając, jak może ewoluować, na przykład, operacja matematyczna, jeśli powtarzamy ją w nieskończoność. Wyczuwasz, że w końcu istnieje pojęcie zmiany i to właśnie ta modyfikacja, którą rachunku nieskończenie mały stara się podkreślić. Dzięki temu możesz w tej chwili określić prędkość swojego samochodu Tale co z następną sekundą? W następnej milisekundie? Na następną nanosekundę? Widzicie, że dotykamy pojęcia nieskończoności i na tym etapie potrzebujemy rachunku nieskończenie małego.

4. 
   

   
   Zrozum, jaki jest limit funkcji. Limit wskazuje wartość, do której dąży funkcja. Weźmy liczbę 1 i podzielmy ją przez 2. Powtórzmy ten podział w nieskończoności, otrzymamy 1/2, następnie 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 i tak dalej. Jak widać, wynik jest coraz mniejszy i zbliżony do 0. Ale jaki będzie limit? Ile razy podzieli się, aby uzyskać 0? W rachunku nieskończenie małym nie próbujemy odpowiedzieć na pytanie: mówimy, że istnieje limita tutaj jest 0.
   • Granice są znacznie lepsze na wykresie - możesz zobaczyć, jak krzywa zbliża się do wartości, bez trzaskania.
   • Limit może być wartością liczbową (dodatnią lub ujemną), + ∞ (plus nieskończoność), - ∞ (mniej dopracowana) lub nie istnieje. Tak więc, jeśli zrobisz 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ..., podejrzewasz, że limit będzie dużą liczbą: limit wynosi wtedy + ∞.

5. 
   

   
   
   
   Przejrzyj swoje pojęcia algebry, trygonometrii i geometrii. Rachunek nieskończenie mały byłby niemożliwy bez opanowania pewnych gałęzi matematyki, które prawdopodobnie studiowałeś w college'u lub szkole średniej. Jeśli dobrze opanujesz te obszary, będziesz miał znacznie mniej trudności ze zrozumieniem rachunku nieskończenie małego. Oto niektóre obszary do absolutnej oceny.
   • Lalgebra: ta gałąź matematyki umożliwia zastosowanie właściwości operacji i traktowania równań, pojedynczych lub wielokrotnych. Interesuje się także zespołami,
   • Geometria: ta gałąź bada figury płaszczyzny i przestrzeni. Przejrzyj właściwości niektórych figur, takich jak trójkąty, kwadraty, koła ... Musisz wiedzieć, jak obliczyć ich obszary, ich obwody ... Musisz dobrze znać, jakie są kąty, linie i współrzędne.
   • Trygonometria: jest to gałąź matematyki, która jest zainteresowana właściwościami okręgów i prostokątnych trójkątów. Musisz doskonale opanować tożsamość trygonometryczną, krzywe, funkcje trygonometryczne (proste jak odwrotne).

6. 
   

   
   Kup kalkulator graficzny. Rachunek nieskończenie mały jest bardzo abstrakcyjny, dlatego musimy spróbować wizualizować wyniki uzyskane dzięki temu obliczeniu. Dzięki kalkulatorom graficznym można zobaczyć wykresy funkcji i wreszcie lepiej zrozumieć, co się dzieje. Te maszyny wyświetlają granice funkcji, ale także pochodne i prymitywy.
   • Jeśli nie chcesz inwestować w prawdziwy kalkulator, wiedz, że istnieją aplikacje na smartfony lub tablety po niskich kosztach, co nie oznacza, że ​​są mniej niezawodne niż kalkulatory.

Część 2 Zrozumienie instrumentów pochodnych

1. 
   

   
   Rachunek nieskończenie mały służy do badania „zmienności chwilowej”. Wiedzieć, dlaczego coś się zmienia w danym momencie, jest przyczyną rachunku nieskończenie małego. Tak więc rachunek nieskończenie mały jest mniejszy, na przykład przy prędkości samochodu, która zmienia prędkość, która może być znana w tym lub w tym momencie jego przebiegu. Na początku może się to wydawać nieatrakcyjne, ale wyobraź sobie, co ta wiedza może mieć wpływ na obliczanie zużycia paliwa przez miliony pojazdów. Wyobraź to sobie dla statku kosmicznego, który zna wiele odmian pchnięć!
   • Znalezienie chwilowej zmienności jest możliwe dzięki pochodzenie, Jest to jeden z dwóch głównych składników rachunku nieskończenie małego.

2. 
   

   
   W przypadku instrumentów pochodnych możemy analizować zmiany natychmiastowe. Słowo „pochodna” brzmi jak coś niepokojącego: dryfujemy! Ale nic, wręcz przeciwnie, wyprowadzenie funkcji pozwala poznać „jak coś się zmienia”.Dlatego termin „pochodna” często implikuje pojęcie prędkości, co implikuje zmianę, zmianę. Zamiast mówić o „pochodnej prędkości”, częściej mówimy o „przyspieszeniu”, które wszyscy znają.
   • Przyspieszenie jest pochodną, ​​reprezentuje zmianę prędkości ruchu zarówno w dół, jak i w górę, w funkcji czasu.

3. 
   

   
   Szybkość zmian nazywa się nachyleniem. Jest mierzony między dwoma punktami trajektorii i uzyskuje się dzięki nieskończenie małemu rachunkowi. Różnica między dwoma punktami to nachylenie prostej łączącej je. Weź linię liniową zdefiniowaną przez funkcję: y = 3x. Jego nachylenie (zwane również „współczynnikiem sterowania”) wynosi 3, co oznacza, że ​​dla każdej nowej wartości x, y mnoży się przez 3. Pojęcia nachylenie i szybkość zmian są zamienne: prawo podnosi siłę 3 dla każdej wartości x. Zatem gdy x = 2, y = 6, a gdy x = 3, y = 9.
   • Nachylenie odpowiada stosunek między zmianą y a odpowiednią zmianą x.
   • Im bardziej strome zbocze, tym bardziej stroma krzywa. Stroma krzywa jest równoznaczna ze znaczną zmiennością tego zjawiska.
   • W razie potrzeby przeczytaj ten artykuł, aby przypomnieć, jak obliczyć nachylenie.

4. 
   

   
   Możliwe jest obliczanie nachyleń na dowolnej krzywej. Znalezienie nachylenia linii prostej jest proste: ile y wzrasta przy każdej zmianie x? A co ze złożoną krzywą taką jak funkcja y = x? Jest to nieco trudniejsze, ponieważ krzywa nie jest liniowa. Możliwe jest jednak obliczenie nachylenia między dwoma punktami tej krzywej: wystarczy narysować odcinek linii między tymi dwoma punktami przed obliczeniem nachylenia, co da współczynnik zmienności.
   • Zatem, gdy y = x, wystarczy znaleźć dwa punkty linii i jeden będzie mógł obliczyć jej nachylenie. Weź punkty (1,1) i (2,4). Nachylenie jest równe: (4 - 1) / (2 - 1) = 4/2 = 2. Oznacza to, że szybkość zmian między x = 1 i x = 2 wynosi 2.

5. 
   

   
   Aby uzyskać precyzyjne tempo zmian, weź dwa punkty blisko siebie. Im bliżej punktów, tym dokładniejsza będzie analiza. Powiedzmy, że chcesz wiedzieć, jak szybko samochód przyspiesza po naciśnięciu pedału przyspieszenia. To nie to samo, co znajomość różnicy prędkości między twoim domem a lokalnym sklepem spożywczym: na przykład chcesz poznać różnicę prędkości w sekundę po naciśnięciu pedału. Im krótszy przedział czasu odniesienia, tym dokładniejsza będzie analiza.
   • Weźmy inny przykład: naukowcy badają znikanie niektórych gatunków zwierząt w ciągu roku, a celem jest znalezienie parady. Wiemy na przykład, że umierają znacznie bardziej zimą niż latem. Rozumiesz, że jeśli chcemy pomóc tym zwierzętom, musimy badać tempo strat nie w ciągu roku, ale zimą, na przykład w styczniu.

6. 
   

   
   Wyobraź sobie bardzo dużą liczbę małych segmentów. To dzięki nim znajdziesz „chwilową szybkość zmian”, zwaną także „pochodną”. Jest to trochę trudne do wyobrażenia, ale pamiętaj o dwóch zasadach: nachylenie między dwoma punktami daje tempo zmian, a im bliżej jesteś, tym lepszy pomiar tego wskaźnika. Jak jednak obliczyć tempo zmian w jednym punkcie, jeśli nachylenie z natury odnosi się do dwóch punktów? W rachunku nieskończenie małym istnieje odpowiedź: weź dwa punkty najbliżej tego punktu.
   • Weźmy przykład dzielenia 1 przez 2, następnie ponownie 2 i tak dalej. Sukcesywnie otrzymywaliśmy 1/2, 1/4, 1/8 itd. Wyczuwasz, że zbliżymy się do 0, odpowiedź brzmi: „praktycznie zero”. Punkty są coraz bliżej, tak bardzo, że w pewnym momencie będą tak blisko, że będziemy mogli mówić o stawkach chwilowych. To właśnie robi pochodna: będzie szukała możliwie najdokładniejszej wartości.

7. 
   

   
   Naucz się różnych formuł pochodnych. W zależności od funkcji konieczne będzie użycie tej lub innej formuły pochodnej. Wszyscy jednak postępują zgodnie z tymi samymi zasadami, co wcześniej określone. Niezależnie od pochodnej, umożliwia uzyskanie nachylenia „najmniejszego możliwego odcinka” krzywej. Dosyć teorii, miejsce na obliczenia!

8. 
   

   
   Określ pochodną, ​​aby obliczyć szybkość zmian. Pozwoli ci to obliczyć w dowolnym momencie. Podczas gdy pochodne są przydatne do znajdowania szybkości zmian w punkcie, ale przy rachunku nieskończenie małym, dobre jest to, że możesz stworzyć model dla każdej funkcji. Na przykład pochodną y = x jest y = 2x. Jak widać, za każdym razem, gdy przyjmujesz wartość x, możesz obliczyć pochodną w tym punkcie. Ten ostatni jest oczywiście na zakręcie. Obliczenie jest proste, zamieniasz x w funkcji wyprowadzonej z jej wartości. Zatem w punkcie (2, 4), przy x = 2 iy = 4, pochodna wynosi 4, ponieważ y = 2 x 2.
   • Pochodne są oznaczone znakiem górnym: pochodna y to: y (czytaj „y prime”).

9. 
   

   
   Pomyśl o przykładach z życia codziennego. Jeśli masz problemy ze zrozumieniem zasady pochodnej, pomyśl o konkretnym przykładzie, w którym bierze się udział prędkość. Przypominamy, że pochodna mierzy chwilową prędkość zmiany wielkości. Weźmy jako przykład klasyczną piłkę, która puściłaby na szczycie pochyłej płaszczyzny. Naszym celem jest poznanie, w dowolnym momencie wyścigu, odległości, którą przebył i prędkości, która następnie osiągnie. Zakłada się, że wyścig piłki wzdłuż nachylonej płaszczyzny jest linią prostą. To dzięki pochodnej możemy tutaj obliczyć chwilową zmienność trajektorii piłki.
   • Jak szybko piłka zmienia pozycję? Jakie jest tempo zmian lub pochodna ruchu piłki? Ta pochodna to po prostu „prędkość”.
   • Zrzuca się bez prędkości początkowej piłkę na pochyłej płaszczyźnie i próbuje się dowiedzieć, jak to się dzieje. Chodzi o tę różnicę prędkości między dwoma punktami, która jest wskaźnikiem zmienności, jest pochodną. Zjawisko to nazywa się „przyspieszeniem”.
   • Teraz wyobraź sobie, że ten sam marmur podąża typowym kursem górskim. Próbujemy dowiedzieć się, jak ta piłka nabiera prędkości na zjazdach i jak traci na wzniesieniach. Można na przykład zastanawiać się, jak szybko porusza się w połowie pierwszej wspinaczki. Jego prędkość będzie pochodną funkcji trajektorii w tym bardzo precyzyjnym punkcie.

Część 3 Zrozumienie całek

1. 
   

   
   Rachunek nieskończenie mały służy do obliczania nieregularnych powierzchni i objętości. Bez tego obliczenie tych obszarów i objętości byłoby niezwykle długie i skomplikowane. I znowu, wyniki byłyby jedynie przybliżeniami! Wyobraź sobie, że chcesz obliczyć objętość wody dużego jeziora o nieregularnych konturach. Tej objętości nie można ustawić za pomocą wiadra lub nawet większego pojemnika, podobnie jak niemożliwe jest zmierzenie powierzchni. Dzięki nieskończenie małemu rachunkowi i zgodnie z modyfikacjami brzegów jeziora można obliczyć objętość planu wody.
   • Jest z wieloma ustalonymi integracjami, na przykład modelami (meteorologicznymi, wulkanicznymi ...). Całkowanie jest drugim składnikiem rachunku nieskończenie małego.

2. 
   

   
   Integracja pozwala uzyskać wynik pod wykresem. Ta operacja umożliwia zatem pomiar przestrzeni pod krzywą, niezależnie od tego, czy jest ona prostoliniowa, czy nie. Przyjmij funkcję f (x) = x. Jego wykres to parabola w kształcie litery „U”, która wznosi się na szczyt. Załóżmy, że chcesz obliczyć odległość między krzywą a osią xw danym przedziale: jest to możliwe dzięki całkom. Dobrze Z początku może się to wydawać nieciekawe, ale w odniesieniu do przemysłu lub BTP wyobraź sobie kawałek, który można by wyrysować za pomocą funkcji. Lindustriel mógłby wtedy, dzięki integracji, kontrolować dokładną ilość materiału, którego będzie potrzebował do produkcji swoich elementów.

3. 
   

   
   Możemy zintegrować tylko w odstępach czasu. Nie można zintegrować funkcji z całą jej domeną definicji. Zatem funkcja y = x daje nieskończony wykres, przekątną, która dzieli się na dwie górne ćwiartki po prawej i dolnej lewej. Rozumiesz, że nie można zintegrować na całej krzywej. Dlatego zawsze decydujemy się na całkowanie w przedziale (który jest ogólnie zapisany jako „I”), na przykład między x = 2 a x = 5.

4. 
   

   
   Pamiętaj, jak obliczyć szerokość prostokąta. Weź równanie linii poziomej: y = 4. Aby znaleźć obszar poniżej tej linii, należy go ograniczyć. Weźmy na przykład zakres od x = 0 do x = 4. Określając przedział „x”, obliczenia będą proste, ponieważ istnieją tylko linie proste. Ale przy nieregularnym wykresie obliczenia stają się znacznie trudniejsze: nie mamy już prostokąta.

5. 
   

   
   Integracja polega na dodaniu obszarów drobnych prostokątów. Wyjaśnijmy. Jeśli mocno powiększysz odcinek nieregularnej krzywej, zobaczysz tylko prosty odcinek, prosty. Złudzenie to jest bardzo powszechne: krzywizna ziemi nie jest widoczna podczas chodzenia po ziemi. Jeśli wrócimy do integracji, jest to operacja, która mierzy nieskończoną liczbę małych prostokątów pod krzywą. Są tak małe, że pojawiają się bez objętości. Z drugiej strony, dodając je wszystkie, otrzymujemy krzywą.
   • To tak, jakby układać pod wykresem bardzo dużą liczbę małych prostokątów, których obszary były prawie równa 0, ale nie równa.

6. 
   

   
   Umieć rozszyfrować sformułowanie całki. Całka zawiera 4 elementy i ma postać:
   
   ∫ f (x) dx
   Pierwszym symbolem ∫ jest symbol integracji. Drugi element, f (x), jest daną funkcją (2x + 2, t itd.), Podczas gdy trzeci element, dx, wskazuje kierunek całkowania. Brakuje tylko luki integracyjnej, która jest czwartym elementem.
   • Jeśli po całości następuje dy, a nie dx jak zwykle, trzeba się z nim zintegrować: jest to trochę bardziej skomplikowane.

7. 
   

   
   Umieć rozwiązywać całki. W zależności od funkcji integracja przechodzi przez różne formuły. Jednak cel jest taki sam, jak został zaobserwowany: integracja polega na znalezieniu sumy wszystkich możliwych prostokątów pod krzywą. Krótko mówiąc, możemy:
   • wstawić przez podstawienie,
   • zintegrować z całkami nieoznaczonymi,
   • zintegrować przez części.

8. 
   

   
   Całkowanie jest odwrotnością pochodnej. To jest niematerialna rzeczywistość i to właśnie stoi za wieloma postępami naukowymi. Dwie operacje są ze sobą tak ściśle powiązane, że możemy obliczyć współczynniki zmienności, przyspieszenia, prędkości, lokalizacje, ruchy ... bez względu na dane, które masz na początku.
   • Widzieliśmy zatem, że przyspieszenie było pochodną prędkości. Na odwrót, dzięki integracji przyspieszenia, znajdziemy prędkość. Jeśli znasz przyspieszenie (na przykład przyspieszenie spadającego przedmiotu pod działaniem grawitacji), poprzez całkowanie znajdziesz jego prędkość. Niezależnie od tego, czy chodzi o integrację, czy wyprowadzenie, jeden kawałek danych wystarcza na inne dane.

9. 
   

   
   Dzięki integracji możemy obliczyć objętości. Objętość można na przykład uzyskać, obracając na sobie dwuwymiarowy obiekt. Wyobraź sobie, że moneta obraca się z dużą prędkością: wydaje ci się, że tworzy objętość, rodzaj kuli. Opierając się na tym doświadczeniu, dotykasz tak zwanego „wolumenu generowanego przez obrót”.
   • Jeśli potrafisz określić funkcję, która tworzy jedną ze stron objętości, możesz łatwo obliczyć jej objętość. Można więc sobie wyobrazić, że ma funkcję, która określa profil dna jeziora. Zaczynając od tej funkcji, można, poprzez integrację, wydedukować objętość jeziora.