Zawartość

• Kroki
• Porady

Dla tych, którzy mają trudności z matematyką, widok pierwiastka kwadratowego może wywołać dreszcze. Jednak problemy z tym operatorem nie są tak trudne, jak się pojawiają. Czasami proste problemy z pierwiastkiem kwadratowym mogą być tak łatwe, jak zwykłe mnożenie lub dzielenie. Z drugiej strony bardziej skomplikowane problemy mogą wymagać więcej pracy. Mimo to, przy odpowiednim podejściu, wszystkie będą wyglądać na łatwe. Zacznij teraz ćwiczyć pierwiastki kwadratowe i naucz się tej nowej umiejętności matematycznej rodnik!

Kroki

Część 1 z 3: Zrozum pojęcie pierwiastka kwadratowego i kwadratowego

1. 

   Zanim zrozumiesz pierwiastki kwadratowe, najpierw zrozum, czym jest kwadrat liczby. Łatwo to zrozumieć. Aby podnieść liczbę do kwadratu, pomnóż ją przez samą siebie. Na przykład 3 do kwadratu to to samo, co 3 × 3 = 9, a 9 do kwadratu to to samo, co 9 × 9 = 81. Kwadraty są oznaczone małą „2” po prawej stronie u góry podnoszonej liczby, w ten sposób: 3, 9, 100 i tak dalej.
   • Aby przećwiczyć tę koncepcję, spróbuj wyrównać kilka liczb do kwadratu. Pamiętaj, że podniesienie liczby do kwadratu jest po prostu pomnożeniem jej przez samą siebie. Możesz to zrobić nawet z liczbami ujemnymi, ale pamiętaj, że w tym przypadku odpowiedź zawsze będzie pozytywna. Na przykład -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   Aby znaleźć pierwiastek kwadratowy, znajdź „odwrotność” wzmocnienia. Symbol rdzenia (√, zwany także „radykalnym”) zasadniczo oznacza „przeciwieństwo” symbolu. Kiedy widzisz radykał, zadaj sobie pytanie: „Jaką liczbę mogę pomnożyć przez samą siebie, aby wynik była liczbą znajdującą się w rodniku?” Na przykład, kiedy widzisz √ (9), spróbuj znaleźć liczbę, która podniesiona do kwadratu równa się 9. W tym przypadku odpowiedź będzie brzmiała trzyponieważ 3 = 9.
   • Inny przykład: znajdźmy pierwiastek kwadratowy z 25 (√ (25)). Oznacza to, że musimy znaleźć liczbę, która podniesiona do kwadratu jest równa 25. Ponieważ 5 = 5 × 5 = 25, możemy powiedzieć, że √ (25) = 5.
   • Możesz również potraktować tę operację jako sposób „cofnięcia” kwadratowej elewacji. Na przykład, jeśli musimy znaleźć √ (64), pierwiastek kwadratowy z 64, powinniśmy myśleć o 64 jako o 8. Ponieważ pierwiastek kwadratowy w zasadzie „anuluje” podniesienie do kwadratu, możemy powiedzieć, że √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Zrozum różnicę między doskonałymi liczbami kwadratowymi a niedoskonałymi liczbami kwadratowymi. Jak dotąd odpowiedziami na nasze problemy z pierwiastkiem kwadratowym były liczby całkowite. Nie zawsze tak się stanie. W rzeczywistości wynik operacji radiacyjnej może czasami skutkować długimi, skomplikowanymi miejscami dziesiętnymi. Jeśli pierwiastek liczby jest liczbą całkowitą, to znaczy jeśli nie jest ułamkiem lub dziesiętną, zostanie wywołany idealny kwadrat. Wszystkie przykłady pokazane powyżej (9, 25 i 64) są idealnymi kwadratami, ponieważ ich pierwiastki są liczbami całkowitymi (odpowiednio 3, 5 i 8).
   • Z drugiej strony nazywane są liczby, których pierwiastki nie są całe niedoskonałe kwadraty. Obliczając pierwiastek jednej z tych liczb, otrzymamy wynik, który zwykle będzie ułamkiem lub ułamkiem dziesiętnym. Czasami liczby dziesiętne mogą być dość skomplikowane, jak w przykładzie: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Zapamiętaj co najmniej 12 pierwszych doskonałych kwadratów. Jak pokazaliśmy, obliczenie pierwiastka kwadratowego z liczby może być bardzo łatwe! Dlatego ważne jest, aby poświęcić trochę czasu na zapamiętanie pierwiastków kwadratowych z pierwszego tuzina doskonałych kwadratów. Często pojawiają się na testach, więc zapamiętywanie ich może zaoszczędzić sporo czasu. Pierwsze 12 doskonałych kwadratów to:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Jeśli to możliwe, uprość korzenie, usuwając idealne kwadraty. Znalezienie pierwiastka kwadratowego z niedoskonałych kwadratów może być dość trudne, zwłaszcza jeśli nie ma dostępnego kalkulatora (w poniższych sekcjach nauczysz się sztuczek upraszczających proces). Jednak czasami można uprościć liczby wewnątrz pierwiastka, aby ułatwić obliczenia. Po prostu podziel liczbę wewnątrz pierwiastka na współczynniki, a następnie oblicz pierwiastek czynników, które są idealnymi kwadratami i napisz odpowiedź poza rodnikiem. To łatwiejsze niż się wydaje. Zobacz poniżej, aby lepiej zrozumieć!
   • Powiedzmy, że musisz znaleźć korzeń 900. Początkowo wydaje się to dość trudne zadanie! Wszystko jest o wiele łatwiejsze, jeśli podzielimy 900 na czynniki. Współczynniki liczby „x” to zbiór liczb, których pomnożenie daje w wyniku „x”. Na przykład możemy otrzymać 6, mnożąc 1 × 6 i 2 × 3, więc współczynniki 6 wynoszą 1, 2, 3 i 6.
   • Zamiast pracować z 900, co może być trochę dziwne, zapiszmy to jako 9 × 100. Teraz, gdy 9, który jest idealnym kwadratem, jest oddzielone od 100, możemy obliczyć pierwiastek kwadratowy. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). To znaczy √ (900) = 3√(100).
   • Możemy jeszcze dwa razy uprościć, dzieląc 100 na czynniki 25 i 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Możemy więc powiedzieć, że √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Użyj liczb urojonych, aby obliczyć pierwiastek liczb ujemnych. Zadaj sobie pytanie, która liczba pomnożona przez siebie daje -16? To nie jest 4 ani -4, ponieważ kwadrat tych dwóch liczb to 16. Czy powinniśmy się poddać? W rzeczywistości nie ma sposobu, aby zapisać pierwiastek kwadratowy z -16 lub inną liczbę ujemną, używając tylko liczb rzeczywistych. W takich przypadkach musimy użyć liczb urojonych (zwykle w postaci liter lub symboli), aby zastąpić pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Na przykład zmienna „i” jest używana do oznaczenia pierwiastka kwadratowego z -1. Zgodnie z ogólną zasadą pierwiastek liczby ujemnej zawsze będzie (lub przynajmniej będzie zawierał) liczbę urojoną.
   • Pamiętaj, że nawet jeśli liczb urojonych nie można przedstawić za pomocą liczb rzeczywistych, w pewien sposób można je traktować jako takie. Na przykład pierwiastek liczby ujemnej „-x”, jeśli zostanie podniesiony do kwadratu, również daje w wyniku „-x”, tak jak każdy inny pierwiastek. To znaczy i = -1

Część 2 z 3: Stosowanie metod podobnych do dzielenia długiego

1. 

   Potraktuj problem z pierwiastkiem kwadratowym tak, jakby był długim dzieleniem. Pomimo tego, że jest to trochę pracochłonne, możesz znaleźć pierwiastek kwadratowy ze skomplikowanych niedoskonałych liczb kwadratowych bez korzystania z kalkulatora. Metoda (lub algorytm) jest podobna (ale nie taka sama) do metody dzielenia długiego. Dzielenie długie to tradycyjna metoda ręcznego obliczania podziałów.
   • Zacznij od początkowego ustawienia problemu, które będzie podobne do tego w przypadku dzielenia długiego. Na przykład, powiedzmy, że musisz znaleźć pierwiastek z 6,45, który zdecydowanie nie jest idealnym kwadratem. Najpierw piszemy symbol pierwiastka kwadratowego (√), a następnie umieszczamy w nim naszą liczbę. Następnie musimy zrobić linię od symbolu √, aż pokryje on całą liczbę, pozostawiając ją w ramce podobnej do tej, w której znajduje się podziałka długa. Różnica polega na tym, że tutaj odpowiedź będzie powyżej tego pola, a nie poniżej, jak w tradycyjnym podziale. Kiedy skończymy, będziemy mieli wydłużony znak „√”, obejmujący całą liczbę 6,45.
   • Napiszmy liczby w tym polu, więc zostawmy miejsce.

2. 

   Pogrupuj cyfry w pary. Aby rozpocząć rozwiązywanie problemu, pogrupuj cyfry liczby w rdzeniu w pary, zaczynając od przecinka dziesiętnego. Możesz tworzyć małe oznaczenia (takie jak kropki, kreski, przecinki itp.) Między parami, aby je rozdzielić.
   • W naszym przykładzie powinniśmy podzielić 6,45 na trzy pary, w ten sposób: 6-,45-00. Zobacz, że jest o jedną cyfrę mniej po lewej stronie, nie ma z tym problemu.

3. 

   Znajdź największą liczbę, której kwadrat jest mniejszy lub równy wartości pierwszej „grupy”. Zacznij od pierwszej pary liczb po lewej stronie. Wybierz największą liczbę, której kwadrat jest mniejszy lub równy „grupie”. Na przykład, jeśli grupa liczyła 37, wybierz 6, ponieważ 6 = 36 <37 ale 7 = 49> 37. Wpisz tę liczbę nad pierwszą grupą. To jest pierwsza cyfra odpowiedzi.
   • W naszym przykładzie pierwsza grupa w 6-, 45-00 to 6. Pierwsza największa liczba, której kwadrat jest mniejszy lub równy 6, to 2, ponieważ 2 = 4. Napisz „2” na 6 znajdującym się wewnątrz rodnika.

4. 

   Spójrz na pierwszą cyfrę odpowiedzi (liczbę, którą właśnie znaleźliśmy) i pomnóż ją przez dwa. Teraz zapisz wynik poniżej pierwszej grupy i wykonaj odejmowanie, aby znaleźć różnicę. Następnie przewiń w dół następną parę liczb, dodając je do różnicy, którą właśnie znaleźliśmy. Na koniec zapisz ostatnią cyfrę dwukrotnie pierwszą cyfrę odpowiedzi po lewej stronie i zostaw spację obok niej.
   • W naszym przykładzie pierwszym krokiem byłoby znalezienie podwójnej liczby 2, która jest pierwszą cyfrą odpowiedzi. 2 × 2 = 4. Następnie musimy odjąć 4 od 6 (nasza pierwsza „grupa”), otrzymując 2 jako odpowiedź. Teraz musimy zejść do następnej grupy (45), aby uzyskać 245. Na koniec ponownie piszemy 4 po lewej stronie, pozostawiając małe puste miejsce po prawej stronie, w ten sposób: 4_.

5. 

   Wypełnij puste miejsce. Teraz musimy wstawić cyfrę w miejsce spacji obok liczby, którą piszemy po lewej stronie. Wybierz cyfrę, która po pomnożeniu przez liczbę po lewej stronie z pustą przestrzenią zastąpioną przez siebie ma wartość maksymalną, ale mniejszą niż liczba po prawej stronie. Może się to wydawać trochę skomplikowane, więc zobaczmy kilka przykładów do zrozumienia. Jeśli liczba, która spadła, czyli ta po prawej stronie, to 1700, a liczba po prawej to 40_, wypełnilibyśmy puste miejsce liczbą 4, ponieważ 404 × 4 = 1616 <1700 i 405 × 5 = 2025 Liczba znaleziona w tym kroku będzie drugą cyfrą odpowiedzi, więc możesz ją dodać nad symbolem rdzenia.
   • W naszym przykładzie musimy znaleźć liczbę do wypełnienia pustego miejsca w 4_ × _, która sprawi, że odpowiedź będzie jak największa, ale mniejsza lub równa 245. W naszym przypadku odpowiedź to 5ponieważ 45 × 5 = 225 i 46 × 6 = 276.

6. 

   Kontynuuj, używając liczb wypełniających puste miejsca, aby ułożyć odpowiedź. Kontynuuj tę zmodyfikowaną metodę długiego dzielenia, aż zaczniesz uzyskiwać zera, odejmując liczbę malejącą od rodnika lub do osiągnięcia pożądanego poziomu dokładności. Po zakończeniu liczby używane do wypełnienia pustych pól na każdym kroku (i oczywiście pierwsza liczba, której użyjemy) będą stanowić cyfry odpowiedzi.
   • Kontynuując nasz przykład, odejmiemy 225 od 245, aby otrzymać 20. Następnie zejdziemy w dół o parę cyfr 00, aby otrzymać 2000. Podwajając liczby powyżej rodnika, mamy 25 × 2 = 50. Ustawiając liczbę pustych znaków na 50_ × _ = / <2000, otrzymujemy 3. W tym momencie mamy „253” o radykałowie. Powtarzając ten proces ponownie, otrzymujemy 9 jako następną cyfrę.

7. 

   Umieść przecinek we właściwej pozycji w odpowiedzi. Aby zakończyć odpowiedź, nadal musimy wstawić przecinek we właściwym miejscu. Ta część jest łatwa: po prostu umieść przecinek w odpowiedzi w tej samej pozycji, co przecinek w liczbie wewnątrz rodnika. Na przykład, jeśli liczba wewnątrz rodnika wynosi 49,8, po prostu wstaw przecinek w odpowiedzi w miejscu odpowiadającym numerowi poniżej, czyli między dwiema liczbami powyżej 9 i 8.
   • W naszym przykładzie liczba w rodniku wynosi 6,45. Aby uzyskać odpowiedź, wystarczy umieścić przecinek między liczbami powyżej 6 i 4, które w tym przypadku są odpowiednio 2 i 5, aby uzyskać odpowiedź: 2,539.

Część 3 z 3: Szybkie szacowanie niedoskonałych kwadratów

1. 

   Znajdź odpowiedź poprzez oszacowanie. Gdy poznasz pierwiastek niektórych doskonałych kwadratów, znalezienie pierwiastka niedoskonałych kwadratów będzie o wiele łatwiejsze. W poprzednim kroku zalecamy zapamiętanie co najmniej pierwszych dwunastu doskonałych kwadratów i ich korzeni. Dobra wiadomość jest taka, że ​​możemy użyć oszacowania, aby uzyskać przybliżenie pierwiastka niedoskonałego kwadratu, który znajduje się między dwoma doskonałymi kwadratami, które znamy. W tym celu musimy znaleźć pierwszy idealny kwadrat większy od żądanej liczby i ostatni mniejszy, tak aby dana liczba znajdowała się między nimi. Następnie musimy spróbować dowiedzieć się, któremu z tych dwóch doskonałych kwadratów pierwiastek żądanej liczby jest najbliższy.
   • Na przykład załóżmy, że musimy znaleźć pierwiastek kwadratowy z 40. Ponieważ zapamiętaliśmy nasze doskonałe kwadraty, możemy powiedzieć, że 40 jest między 6 a 7, to jest między 36 a 49. Ponieważ 40 jest większe niż 6, jego pierwiastek będzie większe niż 6. Podobnie, ponieważ jest mniejsze niż 7, jego pierwiastek będzie mniejszy niż 7. 40 jest trochę bliższe 36 niż 49, więc nasza odpowiedź będzie prawdopodobnie bliższa 6. W następnych krokach , zwiększymy dokładność naszych szacunków.

2. 

   Zwiększ precyzję do jednego miejsca po przecinku. Po znalezieniu dwóch kolejnych doskonałych kwadratów, które tworzą zakres zawierający twoją liczbę, po prostu spróbuj zwiększyć dokładność oszacowania do punktu, który uważasz za zadowalający. Im więcej prób poprawy oszacowania jest podejmowanych, tym większa dokładność. Na początek oszacuj wartość pierwszego miejsca po przecinku. To oszacowanie nie musi być poprawne, ale użycie logiki do wyboru wartości, która prawdopodobnie będzie najbliższa odpowiedzi, ułatwi proces.
   • W naszym przykładzie akceptowalne oszacowanie dla pierwiastka kwadratowego z 40 mogłoby wynosić 6,4, bo już wiemy, że odpowiedź jest chyba trochę bliższa 6 niż 7.

3. 

   Pomnóż oszacowanie przez siebie. Jeśli nie masz szczęścia, wynik nie będzie numerem startowym (w naszym przykładzie 40). Będziesz musiał dostosować oszacowanie, aby zbliżyć się do właściwej odpowiedzi.Jeśli wynik jest powyżej liczby początkowej (to znaczy powyżej 40), spróbuj niższej oceny. Podobnie, jeśli wynik jest poniżej żądanej liczby, zwiększ oszacowanie.
   • Pomnóż 6,4 przez siebie, aby otrzymać 6,4 × 6,4 = 40,96, która jest nieco wyższa niż nasza początkowa liczba.
   • Teraz, ponieważ nasze oszacowanie było tuż powyżej prawidłowej wartości, więc zmniejszmy je o jedną dziesiątą, aby otrzymać 6,3 × 6,3 = 39,69. Teraz wynik był trochę mniejszy niż nasza pierwotna liczba. Oznacza to, że pierwiastek z 40 to pewna liczba od 6,3 do 6,4. Ponadto, ponieważ 39,69 jest bliższe 40 niż 40,96, wiemy, że pierwiastek będzie bliżej 6,3, a nie 6,4.

4. 

   W razie potrzeby kontynuuj poprawianie oszacowania. W tym momencie, jeśli odpowiedź jest zadowalająca, użyj jednego z pierwszych przybliżeń jako oszacowania. Jeśli jednak potrzebujesz dokładniejszej odpowiedzi, po prostu spróbuj oszacować drugie miejsce po przecinku, wybierając wartość między dwoma poprzednimi (to jest między 6,3 a 6,4). Korzystając z tej metody, możemy oszacować trzy miejsca po przecinku, cztery, pięć i tak dalej, w zależności tylko od dokładności wymaganej dla odpowiedzi.
   • W naszym przykładzie możemy wybrać 6,33, aby oszacować z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Pomnóż 6,33 przez siebie, aby otrzymać 6,33 × 6,33 = 40,0689. Ponieważ wynik był nieco powyżej naszej początkowej liczby, możemy wybrać nieco niższą wartość, na przykład 6,32. W tym przypadku 6,32 × 6,32 = 39,9424, wynik nieco poniżej liczby początkowej. Dlatego możemy wywnioskować, że dokładny pierwiastek z 40 to między 6,32 a 6,33. W razie potrzeby moglibyśmy kontynuować tę metodę, aby uzyskać coraz dokładniejsze przybliżenia pierwiastka żądanej liczby.

Porady

• Jeśli potrzebujesz szybkiej naprawy, użyj kalkulatora. Większość nowoczesnych kalkulatorów może natychmiast obliczyć pierwiastki kwadratowe. Ogólnie wystarczy wpisać dowolną liczbę i nacisnąć przycisk z symbolem pierwiastka kwadratowego. Na przykład, aby znaleźć pierwiastek 841, po prostu naciśnij 8, 4, 1, a następnie (√), aby uzyskać odpowiedź: 39.