Zawartość

• Kroki
• Porady

Wyrażenie wymierne składa się z ułamka zawierającego jedną lub więcej zmiennych w liczniku lub mianowniku. Jeden równanie wymierne to dowolne równanie zawierające co najmniej jedno wymierne wyrażenie. Podobnie jak w normalnych równaniach algebraicznych, równania wymierne są rozwiązywane przez wykonanie tych samych operacji po obu stronach, aż zmienna zostanie wyizolowana po jednej stronie znaku równości. Szczególnie dwie techniki, mnożenie krzyżowe i najmniej wspólny dzielnik, są niezwykle przydatne do izolowania zmiennych i rozwiązywania racjonalnych równań.

Kroki

Metoda 1 z 2: mnożenie krzyżowe

1. 

   Jeśli to konieczne, zmień równanie, tak aby po każdej stronie znaku równości znajdowało się ułamki. Mnożenie przez krzyż to szybka i łatwa metoda rozwiązywania racjonalnych równań. Niestety ta metoda działa tylko w przypadku równań wymiernych zawierających dokładnie jedno wyrażenie wymierne lub ułamek po każdej stronie znaku równości. Jeśli równanie nie jest w formacie odpowiednim do mnożenia krzyżowego, może być konieczne wykonanie pewnych operacji algebraicznych, aby przenieść wyrażenia w odpowiednie miejsca.
   • Na przykład równanie (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 można łatwo zmienić w formacie mnożenia krzyżowego, dodając x / (- 2) po obu stronach równania, co da w wyniku ( x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • Należy pamiętać, że ułamki dziesiętne i liczby całkowite można umieścić jako ułamek, nadając im mianownik 1. (x + 3) / 4 - 2,5 = 5, na przykład można zapisać jako (x + 3) / 4 = 7,5 / 1, co czyni go ważnym dla mnożenia krzyżowego.
   • Niektórych racjonalnych równań nie da się łatwo zredukować do formatu zawierającego tylko ułamek lub wymierne wyrażenie po każdej stronie znaku równości. W takich przypadkach należy zastosować najmniejszy wspólny dzielnik.

2. 

   
   
   Krzyż pomnóż. Ta metoda polega tylko na pomnożeniu licznika ułamka przez mianownik drugiego i odwrotnie. Pomnóż licznik ułamka po lewej stronie znaku równości przez mianownik ułamka po prawej. Powtórz procedurę z licznikiem ułamka po prawej stronie i mianownikiem ułamka po lewej.
   • Mnożenie krzyża działa zgodnie z podstawowymi zasadami algebry. Wyrażenia wymierne i inne ułamki można przekształcić na ułamki zwykłe, mnożąc je przez mianowniki. Mnożenie krzyżowe jest w zasadzie skrótem do mnożenia obu stron równania przez ich odpowiednie mianowniki. Ciężko uwierzyć? Zrób test - te same wyniki uzyskasz po uproszczeniu.

3. 

   
   
   Dopasuj dwa produkty. Po pomnożeniu krzyżowym otrzymasz dwa wynikowe produkty. Wyrównaj oba i uprość wyrażenie, aby każda strona równania była prostsza.
   • Na przykład, jeśli pierwotne wyrażenie wymierne to (x + 3) / 4 = x / (- 2), to po pomnożeniu krzyżowym nowe równanie będzie równe -2 (x + 3) = 4x. W razie potrzeby można go również zapisać jako -2x - 6 = 4x.

4. 

   
   
   Znajdź zmienną. Użyj operacji algebraicznych, aby rozwiązać problem dotyczący zmiennej w równaniu. Pamiętaj, że jeśli x pojawi się po obu stronach znaku równości, będziesz musiał dodać lub odjąć x wyrazów na obu, aby uzyskać x wyrazów tylko na jednym z nich.
   • W naszym przykładzie możemy podzielić obie strony równania przez (-2), co daje x + 3 = -2x. Odejmowanie x z obu stron da nam 3 = -3x. Wreszcie, dzieląc obie strony przez -3, otrzymamy -1 = x, które możemy przepisać jako x = -1. Wartość x znajdujemy, rozwiązując nasze racjonalne równanie.

Metoda 2 z 2: Znajdowanie najmniejszego wspólnego dzielnika (LCD)

1. 

   Wiedz, kiedy należy zastosować najmniejszy wspólny dzielnik. Najmniejszy wspólny dzielnik (LCD) może być użyty do uproszczenia racjonalnego równania, umożliwiając znalezienie istniejących zmiennych. Znalezienie LCD jest dobrym pomysłem, gdy równania wymiernego nie można łatwo zapisać z jednym (i tylko jednym) ułamkiem lub wymiernym wyrażeniem po każdej stronie znaku równości. Wyświetlacz LCD może być bardzo przydatnym narzędziem do rozwiązywania racjonalnych równań z dwoma lub więcej członami. Jednak aby rozwiązać racjonalne równania za pomocą tylko dwóch wyrazów, mnożenie krzyżowe może być szybsze.

2. 

   Sprawdź mianownik każdego ułamka. Określ najmniejszą liczbę, przez którą można podzielić każdy mianownik. Będzie to LCD równania.
   • Czasami najniższy wspólny mianownik - to znaczy najmniejsza liczba, która ma każdy z istniejących mianowników jako czynnik - jest dość oczywisty. Na przykład, jeśli wyrażenie to x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, nie trzeba wiele, aby zdać sobie sprawę, że najmniejsza liczba zawierająca 3, 2 i 6 jako czynnik to w rzeczywistości 6.
   • Jednak często wyświetlacz LCD racjonalnego równania nie jest od razu oczywisty. W takich przypadkach spróbuj zbadać wielokrotności najwyższego mianownika, aż znajdziesz ten, który zawiera wszystkie najniższe mianowniki jako czynnik. W wielu przypadkach wyświetlacz LCD jest wielokrotnością dwóch mianowników. Na przykład w równaniu x / 8 + 2/6 = (x-3) / 9, GCD jest równe 8 × 9 = 72.
   • Jeśli jeden lub więcej mianowników ułamków zawiera zmienną, proces staje się bardziej skomplikowany, ale nie niemożliwy. W takich przypadkach LCD będzie wyrażeniem (zawierającym zmienne), za pomocą którego można podzielić wszystkie mianowniki zamiast pojedynczej liczby. Na przykład w równaniu 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x) LCD jest równy 3x (x-1), ponieważ każdy mianownik jest równo podzielony przez to wyrażenie - podziel go przez (x -1) daje 3x, podzielenie przez 3x daje (x-1), a podzielenie przez x daje 3 (x-1).

3. 

   Pomnóż każdy ułamek w równaniu wymiernym przez jeden. Mnożenie każdego wyrazu przez 1 może wydawać się bezużyteczne. Jest jednak pewien podstęp. Liczbę 1 można zdefiniować jako dowolną liczbę podzieloną przez siebie - na przykład 2/2 i 3/3 są również poprawnymi sposobami zapisu „1”. Ta metoda wykorzystuje tę alternatywną definicję. Pomnóż każdy ułamek w równaniu wymiernym przez 1, pisząc liczbę 1 tak, aby mnożna liczba lub wyraz z mianownikiem powodował, że wyświetlacz LCD sam się wyświetla.
   • W naszym podstawowym przykładzie mnożymy x / 3 przez 2/2, aby otrzymać 2x / 6, i mnożymy 1/2 przez 3/3, aby uzyskać 3/6. 3x + 1/6 ma już 6, czyli LCD, jako mianownik. Możemy więc pomnożyć to przez 1/1 lub pozostawić bez zmian.
   • W naszym przykładzie ze zmiennymi w mianownikach naszych ułamków proces jest nieco bardziej skomplikowany. Ponieważ GCD jest równe 3x (x-1), pomnożymy każde wyrażenie wymierne przez wyraz, przez który jest pomnożone, w wyniku czego otrzymamy 3x (x-1) nad sobą. Zatem pomnożymy 5 / (x-1) przez (3x) / (3x), aby otrzymać 5 (3x) / (3x) (x-1), pomnożymy 1 / x przez 3 (x-1) / 3 (x -1), aby otrzymać (3 (x-1) / 3x (x-1) i pomnożyć 2 / (3x) przez (x-1) / (x-1), aby otrzymać 2 (x-1) / 3x (x -1).

4. 

   Uprość i rozwiąż dla x. Teraz, gdy wszystkie wyrazy w równaniu wymiernym mają ten sam mianownik, możesz wyeliminować mianowniki z równania i rozwiązać liczniki. Po prostu pomnóż obie strony równania, aby otrzymać izolowane liczniki. Następnie użyj operacji algebraicznych, aby uzyskać x (lub dowolną inną zmienną, dla której chcesz rozwiązać) w izolacji po jednej stronie znaku równości.
   • W naszym podstawowym przykładzie po pomnożeniu każdego wyrazu przez naprzemienne formy 1 otrzymamy 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. Dwa ułamki można dodać do siebie, jeśli mają ten sam mianownik, dzięki czemu możemy uprościć to równanie do (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6, bez zmiany jego wartości. Pomnóż obie strony przez 6, aby anulować mianowniki, co pozostawi 2x + 3 = 3x + 1. Odejmij 1 z obu stron, aby uzyskać 2x + 2 = 3x, i odejmij 2x z obu stron, aby otrzymać 2 = x, co można zapisać jako x = 2.
   • W naszym przykładzie ze zmiennymi w mianownikach, nasze równanie po pomnożeniu każdego wyrazu przez „1” jest równe 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 (x-1) / 3x (x-1). Mnożenie każdego wyrazu przez MDC pozwala nam usunąć mianowniki, co daje 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Działa to również na 15x = 3x - 3 + 2x - 2, co można uprościć do 15x = x - 5. Odejmowanie x od obu stron daje 14x = -5, co ostatecznie zostanie uproszczone do x = -5 / 14.

Porady

• Po rozwiązaniu danej zmiennej sprawdź odpowiedź, wpisując wartość w pierwotnym równaniu. Jeśli uzyskałeś poprawny wynik, możliwe będzie uproszczenie pierwotnego równania do prostego i ważnego stwierdzenia, takiego jak 1 = 1.
• Zauważ, że możesz zapisać dowolny wielomian jako wyrażenie wymierne; po prostu umieść go nad mianownikiem „1”. W ten sposób x + 3 i (x + 3) / 1 będą miały tę samą wartość, ale drugie jest uważane za wyrażenie wymierne, ponieważ jest zapisywane jako ułamek.