Zawartość

• Kroki
• Odpowiedzi i przykłady problemów
• Porady
• Ostrzeżenia

Trójmian to wyrażenie algebraiczne złożone z trzech wyrazów. Prawdopodobnie nauczysz się rozkładać na czynniki trójomiany kwadratowe, które są trójmianami zapisanymi w postaci ax + bx + c. Istnieje kilka sztuczek, które można zastosować do różnych typów trójmianów kwadratowych, ale z praktyką będziesz postępować lepiej i szybciej. Wielomiany wyższego stopnia, z wyrażeniami takimi jak lub x, nie zawsze można rozwiązać tymi samymi metodami, ale często można uciec się do prostego faktorowania lub zastępowania terminów, aby przekształcić je w problemy, które można rozwiązać za pomocą dowolnego wzoru kwadratowego .

Kroki

Metoda 1 z 3: Rozkładanie na czynniki x + bx + c

1. 

   Naucz się własności dystrybucyjnej (znanej również jako FOIL w języku angielskim), aby pomnożyć wyrażenia takie jak (x + 2) (x + 4). Zanim zaczniesz faktoring, warto wiedzieć, jak to działa:
   • Zwielokrotniać pierwszy warunki: (x+2)(x+4) = x + __
   • Pomnóż warunki na zewnątrz: (x+2) (x +4) = x +4x + __
   • Pomnóż warunki wewnątrz: (x +2)(x+4) = x + 4x +2x + __
   • Zwielokrotniać ostatni, ubiegły, zeszły terminy: (x +2) (x +4) = x + 4x + 2x +8
   • Uprość: x + 4x + 2x + 8 = x + 6x + 8

2. 

   
   
   Zrozumieć faktoring. Kiedy pomnożymy dwa dwumiany ze sobą przy użyciu rozdzielacza, otrzymamy trójmian (wyrażenie z trzema członami) w postaci Plikx +bx +do, w którym „a”, „b” i „c” to liczby wspólne. Jeśli zaczniesz od równania w ten sam sposób, możesz je rozłożyć na czynniki, przekształcając je z powrotem w dwa dwumiany.
   • Jeśli równanie nie jest zapisane w tej kolejności, przenieś wyrazy na odpowiednią pozycję. Na przykład przepisać 3x - 10 + X lubić x + 3x - 10.
   • Ponieważ największym wykładnikiem jest 2 (x, wyrażenie to nazywa się „kwadratowym”.

3. 

   
   
   Zarezerwuj miejsce na odpowiedź przedstawionej metody. Na razie po prostu napisz (__ __) (__ __) w przestrzeni poświęconej odpowiedzi. Wkrótce wypełnimy te pola.
   • Nie umieszczaj jeszcze znaku + lub - między pustymi terminami, ponieważ nie wiemy, który z nich zostanie użyty.

4. 

   Wypełnij pierwsze warunki. W prostych zadaniach, gdzie pierwszy wyraz twojego trójmianu to tylko x, wyrazy pierwszej pozycji zawsze będą x i x. To są czynniki x, ponieważ x razy x = x.
   • Nasz przykład, x + 3x - 10, zaczyna się od x, więc możemy napisać:
   • (x __) (x __)
   • W następnej sekcji przyjrzymy się bardziej złożonym problemom, w tym trójmianom zaczynającym się od terminu takiego jak 6xlub -x. Na razie postępuj zgodnie z przykładowym problemem.

5. 

   
   
   Użyj faktoringu, aby odgadnąć ostatnie terminy. Jeśli wrócisz i ponownie przeczytasz metodę zastosowaną na początku, zobaczysz, że mnożenie ostatnich wyrazów daje końcowy wyraz w wielomianu (ten bez x). Dlatego, aby wziąć pod uwagę, musimy znaleźć dwie liczby, które mnożą się, tworząc ostatni człon.
   • W naszym przykładzie x + 3x - 10, ostatni termin to -10.
   • Jakie są czynniki -10? Które dwie liczby pomnożone razem dają -10?
   • Możliwości jest kilka: -1 razy 10, 1 razy -10, -2 razy 5 lub 2 razy -5. Zapisz gdzieś te pary, żeby nie zapomnieć.
   • Nie zmieniaj jeszcze odpowiedzi. Nadal wygląda tak: (x __) (x __).

6. 

   Sprawdź, jakie możliwości działają z pomnożeniem na zewnątrz i wewnątrz. Zredukowaliśmy te ostatnie terminy do kilku możliwości. Przetestuj każdy z nich, mnożąc warunki zewnętrzne i wewnętrzne, a następnie porównując wynik z naszym trójmianem. Na przykład:
   • Termin „x” w naszym pierwotnym problemie to „3x”, więc właśnie po to chcemy przejść do testu.
   • Test -1 i 10: (x-1) (x + 10). Wartość zewnętrzna + wewnętrzna = 10x - x = 9x. Nie rób.
   • Test 1 i -10: (x + 1) (x-10). -10x + x = -9x. To nie jest w porządku. W rzeczywistości po przetestowaniu -1 i 10 wiesz, że odpowiedzi 1 i -10 będą dokładnie odwrotne do powyższego wyniku: -9x zamiast 9x.
   • Test -2 i 5: (x-2) (x + 5). 5x - 2x = 3x. Zbiega się to z pierwotnym wielomianem, więc jest to poprawna odpowiedź: (x-2) (x + 5).
   • W prostych przypadkach, takich jak ten, kiedy przed x nie ma stałej, możesz użyć skrótu: po prostu dodaj dwa czynniki, a następnie wstaw „x” (-2 + 5 → 3x). To nie zadziała przy bardziej skomplikowanych problemach, dlatego dobrze jest zapamiętać pełną ścieżkę opisaną powyżej.

Metoda 2 z 3: Rozkładanie na czynniki bardziej złożonych trójmianów

1. 

   Użyj prostego faktoringu, aby ułatwić sobie najbardziej złożone problemy. Powiedz, że musisz wziąć pod uwagę 3x + 9x - 30. Poszukaj liczby uwzględniającej wszystkie trzy wyrazy (ich „największy wspólny dzielnik”, czyli LCD). W tym przypadku jest to 3:
   • 3x = (3) (x)
   • 9x = (3) (3x)
   • -30 = (3)(-10)
   • Dlatego 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x-10). Możemy rozłożyć nowy trójmian, wykonując kroki opisane na początku tego artykułu. Odpowiedź będzie (3) (x-2) (x + 5).

2. 

   Poszukaj bardziej rozbudowanych czynników. Czasami czynnik może obejmować zmienne lub może być konieczne kilkukrotne rozłożenie, aż znajdziesz najprostsze możliwe wyrażenie. Oto kilka przykładów:
   • 2xy + 14xy + 24y = (2 lata)(x + 7x + 12)
   • x + 11x - 26x = (x)(x + 11x - 26)
   • -x + 6x - 9 = (-1)(x - 6x + 9)
   • Nie zapomnij ponownie rozłożyć nowego trójmianu, wykonując kroki z początku. Sprawdź swoją odpowiedź i znajdź podobne przykładowe problemy pod koniec tego artykułu.

3. 

   Rozwiąż problemy z liczbą znajdującą się przed x. Niektórych trójmianów kwadratowych nie można uprościć, dopóki nie dojdzie się do najłatwiejszego rodzaju problemu. Dowiedz się, jak rozwiązywać problemy takie jak 3x + 10x + 8, a następnie ćwicz samemu z przykładowymi problemami na końcu tego artykułu:
   • Zbierz odpowiedź: (__ __)(__ __)
   • Pierwsze wyrazy mają po „x” i po pomnożeniu dają wynik 3x. Jest tylko jedna możliwa opcja: (3x __) (x __).
   • Wypisz czynniki 8. Nasze opcje to 1 razy 8 lub 2 razy 4.
   • Przetestuj je, używając terminów na zewnątrz i wewnątrz. Zrozum, że kolejność czynników ma znaczenie, ponieważ człon zewnętrzny jest mnożony przez „3x”, a nie przez „x”. Wypróbuj wszystkie możliwości, aż uzyskasz wynik z zewnątrz + w ciągu 10x (zgodnie z pierwotnym problemem):
   • (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x Nie.
   • (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x Nie.
   • (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x Nie.
   • (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x tak, to jest właściwy czynnik.

4. 

   Użyj podstawienia dla trójmianów wyższego stopnia. Twoja książka do matematyki może Cię zaskoczyć równaniem x z wysokim wykładnikiem, nawet po zastosowaniu prostego rozkładania na czynniki, aby złagodzić problem. Spróbuj zastąpić go nową zmienną, która zamienia równanie w coś, co możesz rozwiązać. Na przykład:
   • x + 13x + 36x
   • = (x) (x + 13x + 36)
   • Wymyślmy nową zmienną. Powiemy, że y = x i dokonamy podstawień:
   • (x) (y + 13y + 36)
   • = (x) (y + 9) (y + 4). Teraz użyj ponownie oryginalnej zmiennej:
   • = (x) (x + 9) (x + 4)
   • =(x) (x ± 3) (x ± 2)

Metoda 3 z 3: Uwzględnianie przypadków specjalnych

1. 

   Poszukaj liczb pierwszych. Sprawdź, czy stała w pierwszym lub trzecim członie trójmianu jest liczbą pierwszą. Liczba pierwsza może być podzielona równo tylko przez siebie i przez 1, więc jest tylko jedna możliwa para czynników dwumianowych.
   • Na przykład w przypadku x + 6x + 5 „5” jest liczbą pierwszą, więc dwumian powinien wyglądać następująco: (__ 5) (__ 1).
   • W zadaniu 3x + 10x + 8, 3 jest liczbą pierwszą, więc dwumian powinien wyglądać tak: (3x __) (x __).
   • W przypadku problemu 3x + 4x + 1 zarówno „3”, jak i „1” są liczbami pierwszymi, więc jedynym możliwym rozwiązaniem jest (3x + 1) (x + 1). (Nadal musisz wykonać to mnożenie, aby sprawdzić obliczenia, ponieważ niektórych wyrażeń nie można uwzględnić - na przykład 3x2 + 100x + 1 nie ma współczynników).

2. 

   Upewnij się, że trójmian jest idealnym kwadratem. Doskonały trójmian kwadratowy można rozłożyć na dwa identyczne dwumiany, a współczynnik jest zwykle zapisywany jako (x + 1), zamiast (x + 1) (x + 1). Oto kilka typowych, które często wpadają w kłopoty:
   • x + 2x + 1 = (x + 1) i x-2x + 1 = (x-1)
   • x + 4x + 4 = (x + 2) i x-4x + 4 = (x-2)
   • x + 6x + 9 = (x + 3) i x-6x + 9 = (x-3)
   • W idealnym kwadratowym trójmianu w postaci Plikx + bx + do, terminy „a” i „c” są zawsze dodatnimi doskonałymi kwadratami (takimi jak 1, 4, 9, 16 lub 25), a wyraz b (dodatni lub ujemny) jest zawsze równy 2 (√a * √c) .

3. 

   Sprawdź, czy nie ma rozwiązania. Nie wszystkie trójomiany można uwzględnić. Jeśli utkniesz w kwadratowym trójmianu (ax + bx + c), użyj wzoru kwadratowego, aby znaleźć wynik. Jeśli jedynymi odpowiedziami są pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej, nie ma rzeczywistego rozwiązania, więc nie ma czynników.
   • W przypadku trójmianów niekwadratowych użyj kryterium Eisensteina, które jest opisane w sekcji porad.

Odpowiedzi i przykłady problemów

1. Odpowiedzi na najbardziej rozbudowane problemy faktoringowe. To są problemy „bardziej rozbudowanej” części trójmianów. Uprościliśmy je, czyniąc z nich łatwiejszy problem. Teraz spróbuj je rozwiązać, wykonując kroki na początku, więc sprawdź swoje obliczenia tutaj:
   • (2y) (x + 7x + 12) = (x + 3) (x + 4)
   • (x) (x + 11x - 26) = (x + 13) (x-2)
   • (-1) (x - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)
2. Spróbuj rozwiązać bardziej złożone problemy faktoringowe. Te problemy mają wspólny czynnik w każdym z terminów, który należy uwzględnić w pierwszej kolejności. Zaznacz spację po znakach równości, aby zobaczyć odpowiedź, i sprawdź swoje obliczenia tutaj:
   • 3x + 3x-6x = (3x) (x + 2) (x-1) ← zaznacz to miejsce, aby zobaczyć swoją odpowiedź
   • -5xy + 30xy-25yx = (-5xy ^ 2) (x-5) (x-1)
3. Ćwicz z trudnymi problemami. Tych problemów nie można rozłożyć na łatwiejsze równania, więc będziesz musiał wypracować odpowiedź w postaci (_x + __) (_ x + __) za pomocą testów:
   • 2x + 3x-5 = (2x + 5) (x-1) ← podświetl, aby zobaczyć odpowiedź
   • 9x + 6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1) (Wskazówka: może być konieczne wypróbowanie więcej niż kilku czynników dla 9x).

Porady

• Jeśli nie wiesz, jak wziąć pod uwagę trójmian kwadratowy (ax + bx + c), możesz użyć wzoru kwadratowego, aby znaleźć wartość x.
• Chociaż nie musisz wiedzieć, jak to zrobić, możesz użyć kryterium Eisensteina, aby szybko określić, czy wielomian jest nieredukowalny i nie można go uwzględnić. To kryterium ma zastosowanie do dowolnego wielomianu, ale działa szczególnie dobrze w przypadku trójmianów. Jeśli istnieje liczba pierwsza „p”, która dzieli równo dwa ostatnie wyrazy i spełnia następujące warunki, to wielomian jest nieredukowalny:
  • Stały składnik (bez zmiennej) jest wielokrotnością p, ale nie p.
  • Główny termin (na przykład „a” w ax + bx + c) nie jest wielokrotnością p.
  • Na przykład 14x + 45x + 51 jest nieredukowalna, ponieważ istnieje liczba pierwsza (3), która dzieli równo 45 i 51, ale nie 14, a 51 nie można podzielić równo przez 3.

Ostrzeżenia

• Chociaż dotyczy to równań kwadratowych, faktyczne trójomiany niekoniecznie są iloczynem dwóch dwumianów. Na przykład: x + 105x + 46 = (x + 5x + 2) (x - 5x + 23).