Zawartość

• Kroki
• Pytania i odpowiedzi społeczności
• Porady
• Ostrzeżenia
• Kalkulator

Inne sekcje ARTYKUŁ WIDEO

W czasach poprzedzających kalkulatory studenci i profesorowie musieli ręcznie obliczać pierwiastki kwadratowe. Wyewoluowało kilka różnych metod radzenia sobie z tym zniechęcającym procesem, niektóre dają przybliżone przybliżenie, inne podają dokładną wartość. Aby dowiedzieć się, jak znaleźć pierwiastek kwadratowy liczby za pomocą prostych operacji, przejdź do Kroku 1 poniżej.

Kroki

Metoda 1 z 2: Korzystanie z faktoryzacji pierwotnej

1. 

   Podziel swoją liczbę na idealne kwadratowe współczynniki. Ta metoda wykorzystuje współczynniki liczbowe, aby znaleźć pierwiastek kwadratowy z liczby (w zależności od liczby może to być dokładna odpowiedź liczbowa lub przybliżone oszacowanie). Liczby czynniki to dowolny zbiór innych liczb, które mnożą się razem, aby to zrobić. Na przykład, możesz powiedzieć, że współczynniki 8 są równe 2 i 4, ponieważ 2 × 4 = 8. Z drugiej strony, kwadraty doskonałe są liczbami całkowitymi będącymi iloczynem innych liczb całkowitych. Na przykład 25, 36 i 49 to idealne kwadraty, ponieważ mają odpowiednio 5, 6 i 7. Idealne współczynniki kwadratowe to, jak można się domyślić, czynniki, które są również idealnymi kwadratami. Aby rozpocząć znajdowanie pierwiastka kwadratowego poprzez rozłożenie na czynniki pierwsze, spróbuj najpierw zredukować swoją liczbę do jej idealnych współczynników kwadratowych.
   • Posłużmy się przykładem. Chcemy ręcznie znaleźć pierwiastek kwadratowy z 400. Na początek podzielilibyśmy tę liczbę na idealne współczynniki kwadratowe. Ponieważ 400 to wielokrotność 100, wiemy, że można ją podzielić po 25 - to idealny kwadrat. Szybki podział mentalny daje nam znać, że 25 idzie na 400 16 razy. 16, przypadkowo, jest również idealnym kwadratem. Zatem idealne współczynniki kwadratowe 400 to 25 i 16 ponieważ 25 × 16 = 400.
   • Zapisalibyśmy to jako: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)

2. 

   
   
   Weź pierwiastki kwadratowe swoich idealnych współczynników kwadratowych. Właściwość iloczynu pierwiastków kwadratowych stwierdza, że ​​dla dowolnej liczby za i b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Dzięki tej właściwości możemy teraz wziąć pierwiastki kwadratowe z naszych doskonałych współczynników kwadratowych i pomnożyć je razem, aby otrzymać odpowiedź.
   • W naszym przykładzie weźmiemy pierwiastki kwadratowe z 25 i 16. Zobacz poniżej:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20

3. 

   
   
   Skróć swoją odpowiedź do najprostszych słów, jeśli Twój numer nie działa idealnie. W prawdziwym życiu najczęściej liczby, dla których trzeba będzie znaleźć pierwiastki kwadratowe, nie będą ładnymi okrągłymi liczbami z oczywistymi idealnymi współczynnikami kwadratowymi, takimi jak 400. W takich przypadkach znalezienie dokładnej odpowiedzi może nie być możliwe, ponieważ Liczba całkowita. Zamiast tego, znajdując dowolne idealne współczynniki kwadratowe, możesz znaleźć odpowiedź w postaci mniejszego, prostszego i łatwiejszego w zarządzaniu pierwiastka kwadratowego. Aby to zrobić, zredukuj liczbę do kombinacji doskonałych współczynników kwadratowych i niedoskonałych współczynników kwadratowych, a następnie uprość.
   • Użyjmy jako przykładu pierwiastka kwadratowego z 147. 147 nie jest iloczynem dwóch doskonałych kwadratów, więc nie możemy uzyskać dokładnej wartości całkowitej, jak powyżej. Jest to jednak iloczyn jednego doskonałego kwadratu i innej liczby - 49 i 3. Możemy użyć tych informacji, aby napisać naszą odpowiedź w najprostszy sposób w następujący sposób:
     • Sqrt (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × Sqrt (3)

4. 

   
   
   Oszacuj, jeśli to konieczne. Używając pierwiastka kwadratowego w najprostszych słowach, zwykle dość łatwo jest uzyskać zgrubne oszacowanie odpowiedzi liczbowej, odgadując wartość wszelkich pozostałych pierwiastków kwadratowych i mnożąc je. Jednym ze sposobów prowadzenia szacunków jest znalezienie idealnych kwadratów po obu stronach liczby w Twoim pierwiastku kwadratowym. Dowiesz się, że wartość dziesiętna liczby w Twoim pierwiastku kwadratowym znajduje się gdzieś między tymi dwiema liczbami, więc będziesz w stanie zgadnąć między nimi.
   • Wróćmy do naszego przykładu. Ponieważ 2 = 4 i 1 = 1, wiemy, że Sqrt (3) jest pomiędzy 1 a 2 - prawdopodobnie bliżej 2 niż 1. Oszacujemy 1,7. 7 × 1,7 = 11.9 Jeśli sprawdzimy naszą pracę w kalkulatorze, zobaczymy, że jesteśmy dość blisko rzeczywistej odpowiedzi 12.13.
     • Działa to również w przypadku większych liczb. Na przykład Sqrt (35) można oszacować na od 5 do 6 (prawdopodobnie bardzo blisko 6). 5 = 25 i 6 = 36. 35 jest między 25 a 36, ​​więc jego pierwiastek kwadratowy musi wynosić od 5 do 6. Ponieważ 35 jest tylko o jeden od 36, możemy z całą pewnością powiedzieć, że jego pierwiastek kwadratowy to właśnie mniej niż 6. Sprawdzanie kalkulatorem daje nam odpowiedź około 5,92 - mieliśmy rację.

5. 

   Zmniejsz swój numer do jego najniższe wspólne czynniki jako pierwszy krok. Znalezienie idealnych współczynników kwadratowych nie jest konieczne, jeśli można łatwo określić czynniki pierwsze liczby (czynniki, które są również liczbami pierwszymi). Wypisz swój numer pod kątem najniższych wspólnych czynników. Następnie poszukaj pasujących par liczb pierwszych wśród swoich czynników. Gdy znajdziesz dwa pasujące czynniki pierwsze, usuń obie te liczby z pierwiastka kwadratowego i umieść je jeden z tych liczb poza pierwiastkiem kwadratowym.
   • Jako przykład znajdźmy pierwiastek kwadratowy z 45 za pomocą tej metody. Wiemy, że 45 = 9 × 5 i wiemy, że 9 = 3 × 3. Zatem możemy zapisać nasz pierwiastek kwadratowy w kategoriach jego współczynników w następujący sposób: Sqrt (3 × 3 × 5). Po prostu usuń 3 i umieść 3 poza pierwiastkiem kwadratowym, aby uzyskać pierwiastek w najprostszy sposób: (3) Sqrt (5). Stąd łatwo to oszacować.
   • Jako ostatni przykładowy problem, spróbujmy znaleźć pierwiastek kwadratowy z 88:
     • Sqrt (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Mamy kilka 2 w naszym pierwiastku kwadratowym. Ponieważ 2 jest liczbą pierwszą, możemy usunąć parę i umieścić ją poza pierwiastkiem kwadratowym.
     • = Nasz pierwiastek kwadratowy najprościej to (2) Sqrt (2 × 11) lub (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Stąd możemy oszacować Sqrt (2) i Sqrt (11) i znaleźć przybliżoną odpowiedź, jeśli chcemy.

Metoda 2 z 2: Ręczne znajdowanie pierwiastków kwadratowych

Korzystanie z algorytmu z długim podziałem

1. 

   Rozdziel cyfry swojego numeru na pary. Ta metoda wykorzystuje proces podobny do dzielenia długiego, aby znaleźć plik dokładny pierwiastek kwadratowy cyfra po cyfrze. Chociaż nie jest to konieczne, może się okazać, że najłatwiej będzie przeprowadzić ten proces, jeśli wizualnie zorganizujesz obszar roboczy i numer w działające fragmenty. Najpierw narysuj pionową linię oddzielającą obszar roboczy na dwie części, a następnie narysuj krótszą poziomą linię w pobliżu górnej części prawej sekcji, aby podzielić prawą sekcję na małą górną i większą dolną. Następnie rozdziel cyfry numeru na pary, zaczynając od przecinka. Na przykład zgodnie z tą zasadą 79 520 789 182 4797 staje się „7 95 20 78 91 82. 47 89 70”. Wpisz swój numer w lewym górnym rogu.
   • Jako przykład spróbujmy obliczyć pierwiastek kwadratowy z 780,14. Narysuj dwie linie, aby podzielić obszar roboczy, jak powyżej, i napisz „7 80. 14” u góry lewego miejsca. W porządku. że skrajnie lewy fragment jest samotną liczbą, a nie parą liczb. Napisz swoją odpowiedź (pierwiastek kwadratowy z 780,14.) W prawym górnym miejscu.

2. 

   Znajdź największą liczbę całkowitą n którego kwadrat jest mniejszy lub równy skrajnej lewej liczbie (lub parze). Zacznij od lewej „części” numeru, niezależnie od tego, czy jest to para, czy pojedyncza liczba. Znajdź największy idealny kwadrat, który jest mniejszy lub równy temu kawałkowi, a następnie weź pierwiastek kwadratowy z tego idealnego kwadratu. Ta liczba to n. Napisz n w prawym górnym rogu i napisz kwadrat n w prawej dolnej ćwiartce.
   • W naszym przykładzie skrajnie lewy „fragment” to liczba 7. Ponieważ wiemy, że 2 = 4 ≤ 7 <3 = 9, możemy powiedzieć, że n = 2, ponieważ jest to największa liczba całkowita, której kwadrat jest mniejszy lub równy 7. Napisz 2 w prawej górnej ćwiartce. To jest pierwsza cyfra naszej odpowiedzi. Napisz 4 (kwadrat 2) w prawej dolnej ćwiartce. Ta liczba będzie ważna w następnym kroku.

3. 

   Odejmować liczba, którą właśnie obliczyłeś z lewej pary. Podobnie jak w przypadku dzielenia długiego, następnym krokiem jest odjęcie kwadratu, który właśnie znaleźliśmy, od fragmentu, który właśnie przeanalizowaliśmy. Wpisz tę liczbę pod pierwszą porcją i odejmij, podając swoją odpowiedź.
   • W naszym przykładzie wpiszemy 4 poniżej 7, a następnie odejmiemy. To daje nam odpowiedź 3.

4. 

   Opuść następną parę. Przenieś następny „fragment” w liczbie, której pierwiastek kwadratowy rozwiązujesz, w dół, obok odjętej właśnie znalezionej wartości. Następnie pomnóż liczbę w prawym górnym kwadrancie przez dwa i zapisz ją w prawym dolnym kwadrancie. Obok zapisanej liczby odłóż miejsce na zadanie z mnożeniem, które rozwiążesz w następnym kroku, pisząc „_ × _ =” ”.
   • W naszym przykładzie następna para w naszym numerze to „80”. Napisz „80” obok 3 w lewej ćwiartce. Następnie pomnóż liczbę w prawym górnym rogu przez dwa. Ta liczba to 2, więc 2 × 2 = 4. Wpisz „” 4 ”” w prawej dolnej ćwiartce, a następnie _×_=.

5. 

   Wypełnij puste miejsca w prawej ćwiartce. Musisz wypełnić każdą pustą przestrzeń, którą właśnie zapisałeś w prawej ćwiartce, tą samą liczbą całkowitą. Ta liczba całkowita musi być największą liczbą całkowitą, która pozwala, aby wynik mnożenia w prawej ćwiartce był mniejszy lub równy bieżącej liczbie po lewej stronie.
   • W naszym przykładzie wypełnienie pustych przestrzeni liczbą 8 daje nam 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. To jest większe niż 380. Zatem 8 jest za duże, ale 7 prawdopodobnie zadziała. Wpisz 7 w puste miejsca i rozwiąż: 4 (7) × 7 = 329. 7 wypisuje, ponieważ 329 jest mniejsze niż 380. Wpisz 7 w prawej górnej ćwiartce. To jest druga cyfra pierwiastka kwadratowego z 780,14.

6. 

   Odejmij właśnie obliczoną liczbę od bieżącej liczby po lewej stronie.
   • W naszym przykładzie odejmiemy 329 od 380, co daje nam 51.

7. 

   Powtórz krok 4. Upuść następny fragment liczby, z której znajdujesz pierwiastek kwadratowy w dół. Kiedy dotrzesz do przecinka dziesiętnego w swoim numerze, wpisz przecinek w odpowiedzi w prawym górnym kwadrancie. Następnie pomnóż liczbę w prawym górnym rogu przez 2 i zapisz ją obok pustego zadania mnożenia („_ × _”) jak powyżej.
   • W naszym przykładzie, ponieważ teraz napotykamy przecinek dziesiętny w 780.14, wpisz przecinek dziesiętny po naszej aktualnej odpowiedzi w prawym górnym rogu. Następnie upuść następną parę (14) w lewej ćwiartce. Dwa razy liczba w prawym górnym rogu (27) to 54, więc napisz „54 _ × _ =” w prawym dolnym kwadrancie.

8. 

   Powtórz kroki 5 i 6. Znajdź największą cyfrę do wypełnienia po prawej stronie, która daje odpowiedź mniejszą lub równą bieżącej liczbie po lewej stronie. Następnie rozwiąż problem.
   • W naszym przykładzie 549 × 9 = 4941, co jest wartością mniejszą lub równą liczbie po lewej stronie (5114). 549 × 10 = 5490, czyli za dużo, więc 9 to nasza odpowiedź. Wpisz 9 jako następną cyfrę w prawym górnym kwadrancie i odejmij wynik mnożenia od liczby po lewej: 5114 minus 4941 daje 173.

9. 

   Kontynuuj obliczanie cyfr. Upuść parę zer po lewej stronie i powtórz kroki 4, 5 i 6. Aby zwiększyć dokładność, kontynuuj powtarzanie tego procesu, aby znaleźć setne, tysięczne itd. Miejsca w swojej odpowiedzi. Kontynuuj ten cykl, aż znajdziesz odpowiedź na żądane miejsce dziesiętne.

Zrozumienie procesu

1. 

   Rozważ liczbę, z której obliczasz pierwiastek kwadratowy, jako powierzchnię S kwadratu. Ponieważ pole kwadratu to L, gdzie L jest długością jednego z jego boków, dlatego próbując znaleźć pierwiastek kwadratowy swojej liczby, próbujesz obliczyć długość L boku tego kwadratu.

2. 

   Określ zmienne literowe dla każdej cyfry odpowiedzi. Przypisz zmienną A jako pierwszą cyfrę L (pierwiastek kwadratowy, który próbujemy obliczyć). B będzie drugą cyfrą, C trzecią i tak dalej.

3. 

   Określ zmienne literowe dla każdego „fragmentu” numeru początkowego. Przypisz zmienną S._zado pierwszej pary cyfr w S (twoja wartość początkowa), S_b druga para cyfr itp.

4. 

   Zrozum związek tej metody z długim dzieleniem. Ta metoda znajdowania pierwiastka kwadratowego jest w istocie problemem z długim dzieleniem, polegającym na podzieleniu liczby początkowej przez pierwiastek kwadratowy dający jego pierwiastek kwadratowy jako odpowiedź. Podobnie jak w przypadku zadania z długim dzieleniem, w którym interesuje Cię tylko jedna następna cyfra na raz, tutaj interesują Cię kolejne dwie cyfry naraz (które odpowiadają następnej cyfrze w danym momencie dla pierwiastka kwadratowego ).

5. 

   Znajdź największą liczbę, której kwadrat jest mniejszy lub równy S_za. Pierwsza cyfra A w naszej odpowiedzi jest wtedy największą liczbą całkowitą, której kwadrat nie przekracza S_za (czyli A tak, że A² ≤ Sa <(A + 1) ²). W naszym przykładzie S._za = 7 i 2² ≤ 7 <3², więc A = 2.
   • Zauważ, że na przykład, gdybyś chciał podzielić 88962 przez 7 przez dzielenie długie, pierwszy krok byłby podobny: patrzyłbyś na pierwszą cyfrę 88962 (8) i chciałbyś mieć największą cyfrę, która po pomnożeniu przez 7 jest mniejsze lub równe 8. Zasadniczo znajdujesz re tak, że 7 × d ≤ 8 <7 × (d + 1). W tym przypadku d byłoby równe 1.

6. 

   Wizualizuj kwadrat, którego obszar zaczynasz rozwiązywać. Twoja odpowiedź, pierwiastek kwadratowy z numeru początkowego, to L, które opisuje długość kwadratu o polu S (numer początkowy). Twoje wartości dla A, B, C reprezentują cyfry w wartości L. Innym sposobem wyrażenia tego jest to, że dla odpowiedzi dwucyfrowej 10A + B = L, a dla odpowiedzi trzycyfrowej 100A + 10B + C = L i tak dalej.
   • W naszym przykładzie (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Pamiętaj, że 10A + B reprezentuje naszą odpowiedź L z B w pozycji jednostek i A w pozycji dziesiątek. Na przykład, gdy A = 1 i B = 2, 10A + B to po prostu liczba 12. (10A + B) ² to pole całego kwadratu, podczas gdy 100A² obszar największego placu wewnątrz, B² to pole najmniejszego kwadratu, a 10A × B to pole każdego z dwóch pozostałych prostokątów. Wykonując ten długi, zawiły proces, znajdujemy pole całego kwadratu, sumując pola kwadratów i prostokątów wewnątrz niego.

7. 

   Odejmij A² od S_za. Upuść jedną parę (S._b) cyfr z S.S_za S_b to prawie całkowita powierzchnia kwadratu, od której właśnie odjąłeś powierzchnię większego kwadratu wewnętrznego. Resztę można traktować jako liczbę N1, którą otrzymaliśmy w kroku 4 (w naszym przykładzie N1 = 380). N1 jest równe 2 × 10A × B + B² (pole powierzchni dwóch prostokątów plus pole małego kwadratu).

8. 

   Poszukaj N1 = 2 × 10A × B + B², zapisanego również jako N1 = (2 × 10A + B) × B. W naszym przykładzie znasz już N1 (380) i A (2), więc musisz znaleźć B.B najprawdopodobniej nie będzie liczbą całkowitą, więc musisz tak właściwie znajdź największą liczbę całkowitą B, tak aby (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Więc masz: N1 <(2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)

9. 

   Rozwiązać. Aby rozwiązać to równanie, pomnóż A przez 2, przesuń je do pozycji dziesiątek (co jest równoznaczne z pomnożeniem przez 10), umieść B w pozycji jednostek i pomnóż wynikową liczbę przez B. Innymi słowy, rozwiąż (2 × 10A + B) × B. To jest dokładnie to, co robisz, pisząc „N_ × _ =” (gdzie N = 2 × A) w prawym dolnym kwadrancie w kroku 4. W kroku 5 znajdujesz największą liczba całkowita B, która pasuje do podkreślenia, tak że (2 × 10A + B) × B ≤ N1.

10. 

    Odejmij powierzchnię (2 × 10 A + B) × B od całkowitej powierzchni. Daje to pole S- (10A + B) ² jeszcze nie uwzględnione (i które zostanie użyte do obliczenia kolejnych cyfr w podobny sposób).

11. 

    Aby obliczyć następną cyfrę C, powtórz proces. Upuść następną parę (S._do) od S, aby uzyskać N2 po lewej stronie, i poszukaj największego C, więc masz (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (odpowiednik dwukrotności dwucyfrowej liczby „AB” a następnie „_ × _ =”. Poszukaj największej cyfry, która mieści się w spacji, co daje odpowiedź mniejszą lub równą N2, jak poprzednio.

Pytania i odpowiedzi społeczności

Czy 28 to liczba idealna?

Tak. Liczba „doskonała” to dodatnia liczba całkowita będąca sumą wszystkich jej dzielników (z wyjątkiem siebie samego). Zatem 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Jaki jest pierwiastek kwadratowy z 0,000121?

.011. Jeśli obliczasz to ręcznie, oto co należy zrobić: sqrt 121 to 11. Aby otrzymać 000121, po prostu znajdź liczbę 0 po przecinku, a następnie liczbę 11. Następnie pomnóż przez siebie..011 *. 011 = .000121.

Czy mogę zapisać pierwiastek sześcienny z x jako (1 / x) ^ 1/3?

Nie, to jest (x) ^ 1/3.

Ile wynosi pierwiastek kwadratowy z minus osiem?

Jest to „urojona” liczba 2i√2.

Jak rozwiązać regułę BODMAS?

BODMAS jest akronimem, który pomaga zapamiętać prawidłową kolejność operacji podczas obliczania wyrażenia algebraicznego. B oznacza „nawiasy”: najpierw zrób wszystko w nawiasach, nawiasach lub nawiasach; O oznacza „rozkazy” (uprawnienia i korzenie); DM oznacza „podziel i pomnóż” (od lewej do prawej); i na koniec AS oznacza „dodawanie i odejmowanie” (również od lewej do prawej).

Jaki jest pierwiastek kwadratowy z 169?

√169 = 13.

Jak rozwiązać 3,5 ^ 3/2?

Najpierw sześcian 3.5, a następnie znajdź pierwiastek kwadratowy z tej liczby.

Czy możesz podać szybsze i łatwiejsze metody, gdy egzamin trwa dwie godziny, a nie dwa dni?

Weź udział w quizie internetowym na ten temat. Spróbuj rozwiązać przykłady podane przez instruktora.

Jaki jest pierwiastek kwadratowy z 196?

14.

Jak łatwiej rozwiązywać pierwiastki kwadratowe?

Użyj kalkulatora. W przeciwnym razie utkniesz z metodą pokazaną powyżej.

Porady

• W tym przykładzie 1,73 można uznać za „resztę”: 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Ta metoda działa dla dowolnej podstawy, a nie tylko dla podstawy 10 (dziesiętnie).
• Przesunięcie przecinka dziesiętnego o dwie cyfry w liczbie (współczynnik 100) powoduje przesunięcie przecinka dziesiętnego o jedną cyfrę w jej pierwiastku kwadratowym (współczynnik 10).
• Zapraszam do przedstawienia rachunku różniczkowego tak, jak ci się bardziej odpowiada. Niektórzy piszą wynik powyżej numeru startowego.
• Alternatywną metodą wykorzystującą ułamki ciągłe może być następujący wzór: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Na przykład, aby obliczyć pierwiastek kwadratowy z 780,14, liczba całkowita, której kwadrat jest najbliższy 780,14, to 28, więc z = 780,14, x = 28, a y = -3,86. Podłączenie i przeniesienie oszacowania do zaledwie x + y / (2x) już daje (w najniższych kategoriach) 78207/2800 lub około 27,931 (1); następny termin 4374188/156607 lub około 27,930986 (5). Każdy termin dodaje prawie 3 miejsca po przecinku do poprzedniego.

Ostrzeżenia

• Pamiętaj, aby oddzielić cyfry w pary od przecinka. Oddzielając 79 520 789 182 4797 jako „79 52 07 89 18 2.4 78 97 "da bezużyteczną liczbę.

Kalkulator

Kalkulator pierwiastka kwadratowego