Zawartość

• Kroki
• Porady
• Ostrzeżenia

Zanim pojawił się kalkulator, zarówno uczniowie, jak i nauczyciele musieli ręcznie obliczać pierwiastki kwadratowe. Kilka metod rozwinęło się, aby lepiej radzić sobie z tym przerażającym procesem, niektóre przynoszą przybliżenia, a inne dokładniejsze wartości. Aby dowiedzieć się, jak ręcznie obliczyć pierwiastek kwadratowy za pomocą prostych operacji, przeczytaj Krok 1 zacząć.

Kroki

Metoda 1 z 2: Stosowanie faktoryzacji głównych

1. 

   Podziel liczbę przez idealne kwadratowe współczynniki. Ta metoda wykorzystuje współczynniki liczby do obliczenia pierwiastka kwadratowego (w zależności od wartości może to być dokładna lub szacunkowa odpowiedź). ty czynniki liczby to dowolny zestaw innych, które mnożą się, aby to osiągnąć. Możesz na przykład powiedzieć, jakie są czynniki i dlaczego. Z drugiej strony, idealne kwadraty to liczby całkowite wynikające z mnożenia innych liczb całkowitych. Na przykład wartości i są idealnymi kwadratami, ponieważ mogą być reprezentowane odpowiednio przez i. Idealne współczynniki kwadratowe, jak możesz sobie wyobrazić, są również idealnymi kwadratami. Aby rozpocząć znajdowanie pierwiastka kwadratowego poprzez rozkład na czynniki pierwsze, zredukuj wartości do idealnych współczynników kwadratowych.
   • W jednym przykładzie będziesz musiał obliczyć pierwiastek kwadratowy z ręki. Aby rozpocząć, po prostu podziel wartość na idealne współczynniki kwadratowe. Ponieważ jest to wielokrotność, nadal wiadomo, że dzieli się przez - idealny kwadrat. Szybki podział mentalny sprawi, że zobaczysz, że pasuje on do liczby razy, która przypadkowo jest również idealnym kwadratem. Dlatego idealne kwadratowe współczynniki będą i dlaczego.
   • Pierwszy etap ćwiczenia zostanie zapisany jako:

2. 

   
   
   Oblicz pierwiastki kwadratowe z doskonałych współczynników kwadratowych. Właściwość iloczynu pierwiastkowego określa, że ​​dla dowolnych wartości i danych. Z tego powodu można teraz wyodrębnić pierwiastki kwadratowe z czynników i pomnożyć je w celu uzyskania odpowiedzi.
   • W omawianym przykładzie pierwiastki kwadratowe z i zostaną wyodrębnione w następujący sposób:

3. 

   
   
   Zredukuj wynikową wartość do najprostszych terminów, jeśli nie można jej idealnie rozłożyć na czynniki. W praktyce liczby prawdopodobnie nie będą doskonałe i dokładne przy czynnikach, które są również idealnymi kwadratami (takimi jak). W takich przypadkach podanie dokładnej pełnej odpowiedzi może nie być możliwe. Zamiast tego, określając czynniki, które mogą być idealnymi kwadratami, możesz obliczyć odpowiedź na podstawie mniejszego, prostszego i łatwiejszego do obliczenia pierwiastka kwadratowego. Po prostu zredukuj liczbę do kombinacji czynników, które są idealnymi kwadratami, z innymi, które nie są. Następnie uprość wynik.
   • Załóżmy, że jako przykładu użyto pierwiastka kwadratowego z. Ta liczba nie jest iloczynem dwóch doskonałych kwadratów, więc nie jest możliwe uzyskanie wartości całkowitej, jak w poprzednim przypadku. Jest to jednak iloczyn między idealnym kwadratem a inną liczbą - e. Dane te posłużą do przyspieszenia wyszukiwania odpowiedzi w najprostszych słowach, w następujący sposób:

4. 

   
   
   W razie potrzeby dokonaj szacunków. Mając pierwiastek kwadratowy, mówiąc najprościej, łatwiej jest oszacować odpowiedź liczbową, określając wartość pozostałych pierwiastków kwadratowych i mnożąc odpowiednie wartości. Jednym ze sposobów przeprowadzenia się przez te szacunki jest znalezienie idealnych kwadratów obok liczby w pierwiastku kwadratowym. Będziesz wiedział, że miejsca dziesiętne tej liczby będą znajdować się między tymi dwiema wartościami, a zatem łatwiej będzie określić, co istnieje między nimi.
   • Wracając do przykładu i będąc e, możesz zobaczyć, że znajduje się pomiędzy e - i prawdopodobnie bliżej większej liczby. Przy szacowaniu znajdziesz to. Po prostu sprawdź działanie za pomocą kalkulatora, a zauważysz, że jesteś bardzo blisko prawdziwej odpowiedzi ().
     • Działa to również w przypadku większych liczb. Można na przykład oszacować, że jest pomiędzy a (prawdopodobnie bliżej większej liczby). Jeśli e i jest między obiema wartościami, prawdopodobnie pierwiastek kwadratowy zawiera się również między a. Biorąc pod uwagę, że jest to mały krok, możesz śmiało stwierdzić, że Twój pierwiastek kwadratowy to wkrótce poniżej wartości. Wykonując obliczenia na kalkulatorze dochodzisz do wyniku - założenie było prawidłowe.

5. 

   Najpierw zmniejsz liczbę do swojego wspólne minimum. Nie ma potrzeby znajdowania czynników, które są idealnymi kwadratami, jeśli jesteś w stanie określić czynniki pierwsze liczby (to znaczy, które są również liczbami pierwszymi). Wpisz odpowiednią wartość w oparciu o wspólne minimum wielokrotności. Następnie poszukaj par liczb pierwszych, które pasują do siebie. Gdy znajdziesz dwie opcje spełniające te wymagania, usuń je z pierwiastka kwadratowego i umieść za z nich na zewnątrz.
   • Na przykład spróbuj znaleźć pierwiastek kwadratowy z przy użyciu tej metody. Wiadomo, że i to. Z tego powodu można zapisać pierwiastek kwadratowy w kategoriach jego współczynników: Po prostu weź dwa obecne w korzeniu i umieść jeden z nich na zewnątrz, aby uzyskać najprostsze terminy: Stąd łatwo to oszacować.
   • Jako ostatni przykład spróbuj obliczyć pierwiastek kwadratowy z:
     • 
       Tutaj jest kilka wartości wewnątrz pierwiastka kwadratowego - ponieważ jest to liczba pierwsza, po prostu weź jedną z par i umieść jedną z jednostek na zewnątrz.
     • W rezultacie pierwiastek kwadratowy w najprostszym ujęciu będzie równy lub. Stąd możesz oszacować wartości i jeśli chcesz.

Metoda 2 z 2: Ręczne obliczanie pierwiastków kwadratowych

1. 

   Najpierw oddziel spacje od liczby parami. Ta metoda wykorzystuje proces podobny do długiego dzielenia do obliczenia pierwiastka kwadratowego dokładny, jeden dom na raz. Chociaż nie jest to kluczowe, może się okazać, że proces jest łatwiejszy, gdy jest zorganizowany wizualnie, a liczba jest podzielona na części. Pierwszą rzeczą do zrobienia jest narysowanie pionowej linii oddzielającej obszar roboczy na dwa obszary, a następnie narysowanie mniejszej poziomej linii w pobliżu prawego górnego rogu, aby uzyskać małą sekcję u góry i dużą u dołu. Teraz oddziel spacje od liczby parami zaczynając od przecinka: zgodnie z tą zasadą, na przykład, staje się. Wpisz wartość w górnej części lewego miejsca.
   • W jednym przykładzie spróbuj obliczyć pierwiastek kwadratowy z. Zrób dwie linie, aby podzielić obszar roboczy, tak jak w poprzednim przypadku, i napisz w górnej części lewej przestrzeni i nie martw się, jeśli po lewej stronie jest tylko jedna liczba zamiast pary. Musisz wpisać odpowiedź () w prawym górnym obszarze.

2. 

   Dowiedz się, która jest największą liczbą całkowitą, której kwadrat jest mniejszy lub równy liczbie (lub parze liczb) po lewej stronie. Zacznij od lewej części swojej liczby, niezależnie od tego, czy jest to para, czy wartość izolowana. Określ, który jest największy doskonały kwadrat, który jest mniejszy lub równy tej liczbie i weź pierwiastek kwadratowy: ta wartość jest reprezentowana przez. Zapisz go w prawym górnym miejscu i wpisz swój kwadrat w prawym dolnym kwadrancie.
   • W tym przykładzie skrajna lewa część to liczba. Jak wiadomo, można to stwierdzić, ponieważ jest to największa liczba całkowita, której kwadrat jest mniejszy lub równy. Napisz w górnej ćwiartce - będzie to pierwszy kwadrat wyniku. Następnie wpisz (kwadrat) w prawej dolnej ćwiartce - ta wartość będzie ważna w następnym kroku.

3. 

   Odejmować nowo obliczony numer pary po lewej stronie. Podobnie jak w przypadku długiego dzielenia, następnym krokiem jest odjęcie kwadratu znalezionego od części, która właśnie została zbadana. Wpisz tę wartość pod pierwszą częścią i wykonaj odpowiednie odejmowanie, pisząc odpowiedź poniżej.
   • W tym przykładzie jeden zostanie umieszczony poniżej jednego, aby wykonać odejmowanie. Tutaj odpowiedź będzie równa.

4. 

   Zejdź do następnej pary. Przenieś następną część numeru badania w dół i obok odjętej właśnie znalezionej wartości. Następnie pomnóż wartość w prawym górnym rogu przez i wpisz odpowiedź w prawym dolnym kwadrancie. Teraz wystarczy oddzielić miejsce na problem z mnożeniem w następnym kroku:
   • W tym przykładzie następna dostępna para to. wystarczy spojrzeć na to w pobliżu lewej dolnej ćwiartki. Następnie pomnóż wartość przez i uzyskaj ją. Napisz w prawym dolnym rogu, a następnie.

5. 

   Wypełnij puste miejsca w prawej ćwiartce. Każdy z nich będzie miał teraz tę samą liczbę całkowitą. Musi to być największy, który pozwala, aby wynik mnożenia po prawej stronie był mniejszy lub równy liczbie teraz obecnej po lewej stronie.
   • W przykładzie wypełnienie pustych miejsc wynikiem: To jest wartość większa niż. W ten sposób jest za duży, ale prawdopodobnie wystarczy. Napisz puste miejsca i kontynuuj: Potwierdza się, że spełnia tę potrzebę, ponieważ następnie wpisz liczbę w prawym górnym kwadrancie.To jest drugi kwadrat pierwiastka kwadratowego z.

6. 

   Odejmij obliczoną wartość od liczby po lewej stronie. Kontynuuj odejmowanie w tym samym stylu, co w przypadku dzielenia długiego. Weź wynik mnożenia z prawej ćwiartki i odejmij go od wartości, która jest teraz po lewej stronie, umieszczając swoją odpowiedź tuż poniżej.
   • W tym przykładzie zostanie odjęta od, w wyniku czego.

7. 

   Powtórz krok 4. Przewiń w dół do następnej części liczby, której obliczany jest pierwiastek kwadratowy. Gdy dojdziesz do przecinka, napisz ułamek dziesiętny w odpowiedzi w prawym górnym kwadrancie. Następnie pomnóż wartość w prawym górnym rogu przez i zapisz operację w kolorze białym (), jak poprzednio.
   • W tym przykładzie, gdy przecinek został już osiągnięty, napisz go zaraz po aktualnej odpowiedzi w prawym górnym rogu. Następnie przejdź w dół o następną parę () w lewej ćwiartce. Mnożąc przez wartość w prawym górnym rogu (), otrzymujesz - napisz w prawej dolnej ćwiartce.

8. 

   Powtórz kroki 5 i 6. Znajdź największą wartość dziesiętną, która może wypełnić puste miejsca po prawej stronie, co daje wynik mniejszy lub równy liczbie aktualnie znajdującej się po lewej stronie. Następnie przejdź do problemu.
   • W tym przykładzie ,, która jest mniejsza lub równa liczbie po lewej stronie (). Obserwując to, co jest zbyt wysokie, dochodzisz do wniosku, że jest to odpowiedź, której szukasz. Zapisz go jako następne miejsce dziesiętne w prawym górnym kwadrancie i odejmij wynik pomnożenia liczby po lewej:

9. 

   Kontynuuj obliczanie miejsc dziesiętnych. Upuść parę zer po lewej stronie i powtórz Kroki 4, 5 i 6. Aby uzyskać jeszcze większą precyzję, powtarzaj ten proces, aż w odpowiedzi znajdziesz części setne, tysięczne itd. Po prostu kontynuuj ten cykl, aż osiągniesz wynik w żądanym miejscu dziesiętnym.

Zrozumienie procesu

1. 

   Określ liczbę, której pierwiastek kwadratowy zostanie obliczony jako pole kwadratu. Ponieważ ten obszar ma wzór, w którym reprezentuje długość jednego ze swoich boków, próbując znaleźć pierwiastek kwadratowy jego wartości, próbujesz obliczyć długość danego kwadratu.

2. 

   Określ zmienne dla każdego miejsca dziesiętnego w swojej odpowiedzi. Ustaw zmienną tak, aby była pierwszym miejscem po przecinku (obliczany pierwiastek kwadratowy), drugą, trzecią itd.

3. 

   Przypisz zmienne alfabetyczne do każdej części numeru początkowego. Skojarz zmienną z pierwszą parą miejsc dziesiętnych w (wartość początkowa), drugą parą miejsc dziesiętnych i tak dalej.

4. 

   Zrozum związek tej metody z długim podziałem. Ten sposób obliczania pierwiastka kwadratowego jest w zasadzie problemem z długim dzieleniem, w którym liczbę początkową dzieli się przez pierwiastek kwadratowy dający jego pierwiastek kwadratowy w odpowiedzi. Podobnie jak w przypadku problemów z długim dzieleniem, w których odsetki są kierowane do jednego miejsca po przecinku, tutaj należy skupić się na dwóch na raz (co odpowiada następnemu pierwiastkowi kwadratowemu po przecinku).

5. 

   Znajdź największą liczbę, której kwadrat jest mniejszy lub równy. Pierwsze miejsce po przecinku w odpowiedzi oznacza największą liczbę całkowitą, której kwadrat nie przekracza (więc). W przykładzie i tak to.
   • W jednym przykładzie, jeśli chcesz podzielić metodą długiego dzielenia, pierwszy krok byłby podobny: powinieneś poszukać pierwszej cyfry () i znaleźć największą liczbę całkowitą, która po pomnożeniu dałaby coś mniejszego niż lub równy. Zasadniczo chodzi o znalezienie tej drogi. W tym przypadku byłoby równe.

6. 

   Wizualizuj kwadrat, którego pole chcesz obliczyć. Odpowiedź, która jest pierwiastkiem kwadratowym z liczby początkowej, będzie reprezentowana przez, który opisuje długość kwadratu powierzchni (numer początkowy). Wartości i reprezentują miejsca dziesiętne obecne w. Innym sposobem ujęcia tej definicji jest stwierdzenie, że w przypadku odpowiedzi z dwoma miejscami po przecinku, w przypadku odpowiedzi z trzema miejscami po przecinku i tak dalej.
   • W przykładzie. Pamiętaj, że przedstawia odpowiedź wyrażoną w jednostkach i dziesiątkach. Biorąc na przykład i, da to liczbę. Jeśli reprezentuje powierzchnię kwadratu, to reprezentuje powierzchnię największego kwadratu wewnętrznego, reprezentuje powierzchnię najmniejszego kwadratu wewnętrznego i reprezentuje pole każdego z pozostałych prostokątów. Wykonując ten długi i skomplikowany proces, będziesz mieć pod ręką cały kwadratowy obszar, po prostu dodając pola obliczone z kwadratów i prostokątów w środku.

7. 

   Odejmij od. Usuń parę () miejsc dziesiętnych. Wyrażenie reprezentuje prawie całą powierzchnię kwadratu, od której odjęto największy wewnętrzny kwadrat. Resztę z kolei można przedstawić za pomocą tego uzyskanego w Krok 4 (w powyższym przykładzie). Tutaj (pole obu prostokątów plus pole najmniejszego kwadratu).

8. 

   Szukaj, również napisane jako. W przykładzie znasz już () i (), a teraz musisz obliczyć wartość. Prawdopodobnie nie będzie to liczba całkowita, więc musisz naprawdę obliczyć największą możliwość, która spełnia warunek. Wreszcie zostaniesz z.

9. 

   Rozwiąż operację. Aby przejść dalej, pomnóż przez, zmień pozycję dziesiątek (odpowiednik pomnożenia wartości przez), umieść ją w pozycji jednostek i pomnóż wynik przez. Innymi słowy, po prostu wykonaj operację. Jest to to samo, co podczas pisania (bycia) w prawym dolnym kwadrancie obecnym w Krok 4. Już w środku Krok 5, z kolei znajdziesz największą wartość całkowitą, która zmieści się w pustym miejscu, spełniając warunek.

10. 

    Odejmij powierzchnię od całkowitej powierzchni. Powoduje to, że obszar do tej pory nie był brany pod uwagę (i który posłuży do obliczenia kolejnych kwadratów w podobny sposób).

11. 

    Aby obliczyć następne miejsce po przecinku, po prostu powtórz proces. Przewiń w dół do następnej pary (), aby przejść w lewo i poszukaj najwyższej wartości, która spełnia warunek (odpowiednik wpisania dwukrotności wartości z dwoma miejscami po przecinku i uzupełnieniem. Wyszukaj najwyższą możliwą wartość dziesiętną w spacjach co daje wynik mniejszy lub równy, jak poprzednio.

Porady

• Ta metoda działa z każdą podstawą - nie tylko podstawą (dziesiętną).
• W tym przykładzie można rozważyć „odpoczynek”:
  
• Alternatywna metoda wykorzystująca ułamki ciągłe opiera się na następującym wzorze:
  
  W jednym przykładzie, aby obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby całkowitej, której kwadrat najbardziej pasuje do liczby początkowej, to e. Wprowadzając wartości do formuły i zaokrąglając oszacowanie w górę, przynosi już wynik (wartości minimalne) lub w przybliżeniu (). Następnym terminem byłoby lub w przybliżeniu (). Każdy dodatkowy termin dodaje prawie trzy miejsca po przecinku w stosunku do poprzedniej próby.

Ostrzeżenia

• Pamiętaj, aby oddzielić miejsca dziesiętne parami od przecinka. Na przykład oddzielenie tego, jak przyniesie bezużyteczne rezultaty.