Zawartość

• Kroki
• Porady

Matematycy i programiści graficzni często muszą znaleźć kąt między dwoma wektorami. Na szczęście wzór użyty do obliczenia tego kąta wymaga jedynie prostego iloczynu skalarnego. Chociaż rozumowanie tego wzoru jest łatwiejsze do zrozumienia, gdy używa się wektorów dwuwymiarowych, możemy łatwo dostosować go do wektorów o dowolnej liczbie składników.

Kroki

Część 1 z 2: Oblicz kąt między dwoma wektorami

1. 

   Zidentyfikuj dwa wektory. Zapisz wszystkie znane informacje o dwóch wektorach. Na potrzeby tego samouczka założymy, że znasz wektory tylko pod względem ich współrzędnych wymiarowych (zwanych także składniki). Jeśli już znasz moduł lub standard z tych wektorów (czyli ich długość), możesz pominąć niektóre z poniższych kroków.
   • Przykład: rozważymy dwuwymiarowe wektory = (2,2) i = (0,3). Te dwa wektory można przepisać jako = 2ja + 2jot e = 0ja + 3jot = 3jot.
   • Chociaż nasz przykład wykorzystuje dwa dwuwymiarowe wektory, możemy zastosować poniższe instrukcje do wektorów z dowolną liczbą składników.

2. 

   
   
   Napisz formułę cosinusa. Aby znaleźć wartość kąta θ między dowolnymi dwoma wektorami, musimy najpierw obliczyć cosinus tego kąta. Możesz przeszukać i poznać szczegóły wzoru lub po prostu napisać go tak, jak jest poniżej:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| reprezentuje moduł (lub długość) wektora ”.
   • • reprezentuje iloczyn skalarny (lub iloczyn wewnętrzny) dwóch wektorów.

3. 

   
   
   Oblicz moduł każdego wektora. Wyobraź sobie trójkąt prostokątny utworzony przez komponent x wektora, jego składowej y i sam wektor. W tym trójkącie wektor odgrywa rolę przeciwprostokątnej; dlatego też, aby znaleźć jego długość, zastosujemy twierdzenie Pitagorasa. W rezultacie wzór ten można łatwo zastosować do wektorów o dowolnej liczbie składników.
   • || u || = u₁ + u₂. Jeśli wektor ma więcej niż dwa składniki, po prostu kontynuuj dodawanie + u₃ + u₄ +...
   • Dlatego w przypadku dwuwymiarowego wektora będziemy musieli || u || = √ (u₁ + u₂).
   • W naszym przykładzie |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Oblicz iloczyn skalarny między dwoma wektorami. Powinieneś już znać metodę mnożenia wektorów, zwaną także iloczyn skalarny. Aby obliczyć iloczyn skalarny dwóch wektorów pod względem ich składników, mnożymy składowe w tym samym kierunku, a następnie dodajemy wyniki tych iloczynów.
   • Jeśli pracujesz z komputerowymi programami graficznymi, przed kontynuowaniem zapoznaj się z sekcją „Wskazówki”.
   • W kategoriach matematycznych • = u₁v₁ + u₂v₂, gdzie u = (u₁, u₂). Jeśli twój wektor ma więcej niż dwa składniki, po prostu kontynuuj dodawanie + u₃v₃ + u₄v₄...
   • W naszym przykładzie • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. To jest wartość iloczynu skalarnego między wektorami i.

5. 

   Zastąp te wyniki formułą cosinus. Pamiętaj, cosθ = (•) / (|||| || ||). Obliczyliśmy już iloczyn skalarny i moduł obu wektorów. Teraz zamieńmy te wartości we wzorze i obliczmy cosinus kąta.
   • W naszym przykładzie cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Znajdź kąt na podstawie swojego cosinusa.
   Użyj funkcji arc lub cos swojego kalkulatora, aby określić kąt θ na podstawie wartości cosinusa. W niektórych przypadkach możesz być w stanie znaleźć wartość kąta na podstawie koła jednostkowego.
   • W naszym przykładzie cosθ = √2 / 2. Wpisz „arccos (√2 ​​/ 2)” w kalkulatorze, aby znaleźć kąt. Inną opcją jest szukanie kąta θ okręgu jednostkowego, gdzie cosθ = √2 / 2: będzie to prawdą dla θ = /₄ lub 45 °.
   • Łącząc wszystkie informacje razem, otrzymamy ostateczny wzór θ = arccosine ((•) / (|||| || ||))

Część 2 z 2: Definiowanie wzoru do obliczania kąta

1. 

   Zrozum cel formuły. Wzór, którego użyliśmy do obliczenia kąta między dwoma wektorami, nie został wyprowadzony z wcześniej istniejących reguł; zamiast tego został utworzony jako definicja iloczynu skalarnego między dwoma wektorami i kąta między nimi. Jednak ta decyzja nie jest arbitralna. Przy bliższym przyjrzeniu się podstawowej geometrii możemy zobaczyć, dlaczego ta formuła daje tak przydatne i intuicyjne definicje.
   • Poniższe przykłady wykorzystują wektory dwuwymiarowe, ponieważ są one najbardziej intuicyjnym typem do pracy. Wektory o trzech lub więcej wymiarach mają swoje właściwości określone z ogólnego wzoru (również w bardzo podobny sposób).

2. 

   Przejrzyj prawo cosinusa. W każdym trójkącie rozważ kąt θ utworzony przez boki Plik i b i z boku do pod tym kątem. Zgodnie z prawem cosinus, c = a + b -2abpas(θ). Demonstrację tego wzoru można łatwo uzyskać na podstawie znajomości podstaw geometrii.

3. 

   Połącz dwa wektory, aby utworzyć trójkąt. Narysuj parę wektorów i między nimi kąt θ. Następnie narysuj między nimi trzeci wektor, aby utworzyć trójkąt. Innymi słowy, narysuj wektor w taki sposób, że + = lub po prostu = -.

4. 

   Zastosuj prawo cosinusa do tego trójkąta. Wymień długość boków naszego trójkąt wektor (czyli moduł wektorowy) we wzorze na prawo cosinusa:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||pas(θ)

5. 

   Przepisz formułę za pomocą produktów skalarnych. Pamiętaj, że iloczyn skalarny to powiększenie jednego wektora rzutowanego na inny. Iloczyn skalarny samego wektora nie wymaga rzutowania, ponieważ nie ma zmiany kierunku. Oznacza to, że • = || a ||. Na podstawie tych informacji przepiszmy równanie prawa cosinusa:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||pas(θ)

6. 

   Uprość wzór. Rozwiń iloczyny po lewej stronie równania, a następnie upraszczaj je, aż dojdziesz do wzoru, który znamy do obliczania kątów.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||pas(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||pas(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||pas(θ)
   • • = || a || || b ||pas(θ)

Porady

• Aby szybko rozwiązać problem, zastosuj następujący wzór do dowolnej dwuwymiarowej pary wektorów: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (w₁ • v₂)).
• Jeśli pracujesz z komputerowymi programami graficznymi, najprawdopodobniej będziesz musiał znać tylko kierunek wektorów, a nie ich długość. Wykonaj poniższe czynności, aby uprościć równania i przyspieszyć swój program:
  • Normalizuj każdy wektor, to znaczy znajdź wektor jednostkowy, który ma ten sam kierunek co oryginalny wektor. Aby to zrobić, podziel każdy składnik wektora przez moduł wektora.
  • Oblicz iloczyn skalarny znormalizowanych wektorów, a nie oryginalnych wektorów.
  • Ponieważ moduł (czyli długość) znormalizowanych wektorów jest jednolity, możemy pominąć je we wzorze. Ostatnim równaniem do obliczania kątów będą łuki (•).
• Na podstawie wzoru na cosinus możemy szybko dowiedzieć się, czy dany kąt jest ostry czy rozwarty. Zacznij od cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Lewa i prawa strona równania muszą mieć ten sam znak (dodatni lub ujemny).
  • Ponieważ długości są zawsze dodatnie, cosθ będzie zawsze mieć ten sam znak co iloczyn skalarny.
  • Dlatego jeśli iloczyn skalarny jest dodatni, cosθ będzie dodatni. Oznacza to, że kąt znajduje się w pierwszej ćwiartce koła jednostkowego, to znaczy θ <π / 2 lub 90 °. Dlatego kąt jest ostry.
  • Jeśli iloczyn skalarny jest ujemny, cosθ jest ujemny. Oznacza to, że kąt znajduje się w drugiej ćwiartce koła jednostkowego, to znaczy π / 2 <θ ≤ π lub 90 ° <θ ≤ 180 °. Dlatego kąt jest rozwarty.